Arithmétique dans N

Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

1. Il ne doit pas être égal à 1.
2. Il ne doit pas avoir d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

💡 À retenir : Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Bach t3ref wach l3dad $n$ awali:

1. Ktb 3dad li kbar men 1 o sghar men $n$.
2. Qsem $n$ 3la l2a3dad l2awaliya (2, 3, 5, 7...) li sghar men $\sqrt{n}$.
3. Ila lqiti chi qisma baki dyalha 0, rah machi awali.
4. Ila malqiti walo, rah awali.

💡 À retenir : Teste uniquement la divisibilité par les nombres premiers inférieurs à la racine carrée du nombre.

1. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise à la fois $a$ et $b$.
2. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple à la fois de $a$ et $b$.

💡 À retenir : PGCD utilise les facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM utilise tous les facteurs avec le plus grand exposant.

Hiya l3amaliya li kat3tina lkharij o lbaki dyal qismat joj a3dad.

1. $a = b \times q + r$.
2. $q$ houwa lkharij.
3. $r$ houwa lbaki, khasso ykoun dima sghar men $b$ o kbar aw yساوي 0.

💡 À retenir : La condition $0 \leq r < b$ est obligatoire pour que la division soit euclidienne.

Non, 0 n'est pas un nombre premier.

1. Les nombres premiers sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
2. 0 possède une infinité de diviseurs (tous les entiers non nuls divisent 0).

💡 À retenir : Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs.

1. Bda bqisma 3la asghar 3dad awali (2).
2. Ila l3dad maysmch 3la 2, doz l 3, men be3d 5, 7...
3. Kteb l3dad 3la chkl jda2 dyal had l2a3dad.

💡 À retenir : Utilise la méthode de la barre verticale pour ne rien oublier.

Oui, c'est la propriété de transitivité de la divisibilité.

1. $a|b$ signifie $b = ak$.
2. $b|c$ signifie $c = bm$.
3. En remplaçant $b$, on obtient $c = (ak)m = a(km)$. Donc $a|c$.

💡 À retenir : La relation de divisibilité est transitive.

Un nombre est pair s'il peut s'écrire sous la forme $2k$ où $k \in \mathbb{N}$.

1. Si tu as une expression, essaie de factoriser par 2.
2. Exemple : $2n + 4 = 2(n + 2)$, donc c'est pair.

💡 À retenir : Le produit de deux entiers consécutifs $n(n+1)$ est toujours pair.

Non, 1 n'est pas un nombre premier.

1. Par définition, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts.
2. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même.

💡 À retenir : La définition impose d'avoir deux diviseurs, donc 1 est exclu.

C'est l'outil le plus puissant en arithmétique pour :

1. Trouver facilement le PGCD et le PPCM.
2. Compter le nombre de diviseurs d'un entier.
3. Simplifier des fractions ou des racines carrées.

💡 À retenir : La décomposition est la "carte d'identité" d'un nombre.

Non, jamais.

1. Si $p$ et $q$ sont premiers, le nombre $n = p \times q$ a au moins 4 diviseurs : 1, $p$, $q$ et $p \times q$.
2. Un nombre premier ne doit avoir que 2 diviseurs.

💡 À retenir : Le produit de deux nombres premiers est un nombre composé.

1. Décompose le nombre : $n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \dots$
2. Ajoute 1 à chaque exposant : $(\alpha_1 + 1) \times (\alpha_2 + 1) \dots$
3. Le résultat est le nombre total de diviseurs.

💡 À retenir : Exemple : $12 = 2^2 \times 3^1$. Nombre de diviseurs = $(2+1)(1+1) = 6$.