Mathématiques · 3ème Année Collège

الحساب العددي : القوى

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier relatif :

$a^n = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ fois).
$a^0 = 1$ et $a^1 = a$ .
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
Règles de calcul :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
- $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression littérale en utilisant les règles des puissances.
Écrire un nombre sous forme de notation scientifique ( $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ ).
Comparer deux puissances en les ramenant à la même base ou au même exposant.

Exemples corrigés

Simplifier $A = \frac{2^3 \times 2^5}{2^4}$ : $A = \frac{2^{3+5}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$ .
Notation scientifique de $0,0045$ : $4,5 \times 10^{-3}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n \times a^m = a^{n+m}$ avec $a^n + a^m$ (qui ne se simplifie pas).
Oublier que $(-a)^n$ est positif si $n$ est pair et négatif si $n$ est impair.
Faire une erreur de signe avec les exposants négatifs.

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier relatif :

$a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois).
$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Règles de calcul :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
- $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression littérale en utilisant les règles des puissances.
Écrire un nombre sous forme de notation scientifique ($a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$).
Comparer deux puissances en les ramenant à la même base ou au même exposant.

Exemples corrigés

Simplifier $A = \frac{2^3 \times 2^5}{2^4}$ : $A = \frac{2^{3+5}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$.
Notation scientifique de $0,0045$ : $4,5 \times 10^{-3}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n \times a^m = a^{n+m}$ avec $a^n + a^m$ (qui ne se simplifie pas).
Oublier que $(-a)^n$ est positif si $n$ est pair et négatif si $n$ est impair.
Faire une erreur de signe avec les exposants négatifs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الحساب العددي : القوى

1/4

Quelle est la valeur de $(-3)^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance est une écriture simplifiée d'une multiplication répétée d'un même nombre. Par exemple, $3^4$ signifie $3 \times 3 \times 3 \times 3$ .

💡 À retenir : L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même.

Une puissance est une écriture simplifiée d'une multiplication répétée d'un même nombre. Par exemple, $3^4$ signifie $3 \times 3 \times 3 \times 3$.

💡 À retenir : L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même.

Kifach n7seb 2^{-3} ?

Pour calculer une puissance avec un exposant négatif, on utilise la règle $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

On écrit $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$ .
On calcule $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .
Le résultat est donc $\frac{1}{8}$ ou $0,125$ .

💡 À retenir : L'exposant négatif signifie "l'inverse".

Pour calculer une puissance avec un exposant négatif, on utilise la règle $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

On écrit $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$.
On calcule $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Le résultat est donc $\frac{1}{8}$ ou $0,125$.

💡 À retenir : L'exposant négatif signifie "l'inverse".

Est-ce que 2^3 times 2^4 = 2^{12} ?

Non, c'est une erreur classique. La règle est d'additionner les exposants quand on multiplie des puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ . Donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .

💡 À retenir : On multiplie les exposants seulement dans le cas $(a^n)^m$ .

Non, c'est une erreur classique. La règle est d'additionner les exposants quand on multiplie des puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

💡 À retenir : On multiplie les exposants seulement dans le cas $(a^n)^m$.

Chno hiya l'écriture scientifique ?

C'est une façon d'écrire les nombres très grands ou très petits sous la forme $a \times 10^n$ , où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Exemple : $5400 = 5,4 \times 10^3$ .

💡 À retenir : La virgule doit être placée après le premier chiffre non nul.

C'est une façon d'écrire les nombres très grands ou très petits sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Exemple : $5400 = 5,4 \times 10^3$.

💡 À retenir : La virgule doit être placée après le premier chiffre non nul.

Pourquoi a^0 = 1 ?

On peut le comprendre avec la règle du quotient : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ . Comme n'importe quel nombre divisé par lui-même donne 1, alors $a^0 = 1$ .

💡 À retenir : Cette règle est valable pour tout $a \neq 0$ .

On peut le comprendre avec la règle du quotient : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$. Comme n'importe quel nombre divisé par lui-même donne 1, alors $a^0 = 1$.

💡 À retenir : Cette règle est valable pour tout $a \neq 0$.

Wach (-2)^2 b7al (-2)^3 ?

Non.

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ (exposant pair, résultat positif).
$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (exposant impair, résultat négatif).

💡 À retenir : Le signe dépend de la parité de l'exposant.

Non.

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ (exposant pair, résultat positif).
$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (exposant impair, résultat négatif).

💡 À retenir : Le signe dépend de la parité de l'exposant.

Comment simplifier frac{10^5}{10^{-2}} ?

On applique la règle $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .

Ici, $n=5$ et $m=-2$ .
Le calcul devient $10^{5 - (-2)}$ .
$5 - (-2) = 5 + 2 = 7$ .
Le résultat est $10^7$ .

💡 À retenir : Attention au signe moins devant le nombre négatif !

On applique la règle $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.

Ici, $n=5$ et $m=-2$.
Le calcul devient $10^{5 - (-2)}$.
$5 - (-2) = 5 + 2 = 7$.
Le résultat est $10^7$.

💡 À retenir : Attention au signe moins devant le nombre négatif !

Est-ce que (a+b)^2 = a^2 + b^2 ?

Non, c'est une erreur grave. $(a+b)^2$ est une identité remarquable : $a^2 + 2ab + b^2$ .

💡 À retenir : La puissance ne se distribue pas sur l'addition.

Non, c'est une erreur grave. $(a+b)^2$ est une identité remarquable : $a^2 + 2ab + b^2$.

💡 À retenir : La puissance ne se distribue pas sur l'addition.

Comment comparer 2^{10} et 4^5 ?

Il faut essayer d'avoir la même base.

On sait que $4 = 2^2$ .
Donc $4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$ .
Les deux nombres sont égaux.

💡 À retenir : Transformez les bases pour qu'elles soient identiques.

Il faut essayer d'avoir la même base.

On sait que $4 = 2^2$.
Donc $4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$.
Les deux nombres sont égaux.

💡 À retenir : Transformez les bases pour qu'elles soient identiques.

Est-ce que 0^n = 0 ?

Oui, pour tout $n > 0$ , $0^n = 0 \times 0 \times \dots = 0$ .

💡 À retenir : $0^0$ est une forme indéterminée en mathématiques.

Oui, pour tout $n > 0$, $0^n = 0 \times 0 \times \dots = 0$.

💡 À retenir : $0^0$ est une forme indéterminée en mathématiques.

Chno lfar9 bin 2 times 3^2 et (2 times 3)^2 ?

$2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (on calcule la puissance d'abord).
$(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$ (on calcule la parenthèse d'abord).

💡 À retenir : Les parenthèses changent la priorité des opérations.

$2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (on calcule la puissance d'abord).
$(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$ (on calcule la parenthèse d'abord).

💡 À retenir : Les parenthèses changent la priorité des opérations.

Comment écrire 0,00007 en notation scientifique ?

On déplace la virgule pour avoir un nombre entre 1 et 10 : $7$ .
On a déplacé la virgule de 5 rangs vers la droite, donc l'exposant est $-5$ .
Résultat : $7 \times 10^{-5}$ .

💡 À retenir : Vers la droite = exposant négatif.

On déplace la virgule pour avoir un nombre entre 1 et 10 : $7$.
On a déplacé la virgule de 5 rangs vers la droite, donc l'exposant est $-5$.
Résultat : $7 \times 10^{-5}$.

💡 À retenir : Vers la droite = exposant négatif.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Simplifier l'expression suivante : $A = \frac{(3^2)^3 \times 3^{-4}}{3^2 \times 3^0}$

Exercice 1

Simplifier l'expression suivante : $A = \frac{(3^2)^3 \times 3^{-4}}{3^2 \times 3^0}$

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Exercice 2

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : $B = \frac{2^3 \times 5^2}{10^2}$

Exercice 2

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : $B = \frac{2^3 \times 5^2}{10^2}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Écrire sous forme de notation scientifique le nombre $C = \frac{0,002 \times 10^4 \times 3}{6 \times 10^{-2}}$

Exercice 3

Écrire sous forme de notation scientifique le nombre $C = \frac{0,002 \times 10^4 \times 3}{6 \times 10^{-2}}$

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