Mathématiques · 3ème Année Collège

حساب المثلثات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ :

$\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Propriétés fondamentales :

Pour tout angle aigu $\alpha$ : $0 < \cos(\alpha) < 1$ et $0 < \sin(\alpha) < 1$ .
$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ .
Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux angles complémentaires ( $\alpha + \beta = 90^\circ$ ), alors : $\cos(\alpha) = \sin(\beta)$ et $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier correctement l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l'angle donné.
Utiliser la calculatrice pour trouver le cosinus, sinus ou tangente d'un angle, ou l'angle à partir d'une valeur.
Appliquer la relation $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ pour trouver une valeur manquante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=3, AC=4, BC=5$ . $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0,6$ .
Exemple 2 : Si $\sin(\alpha) = 0,8$ , alors $\cos^2(\alpha) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$ . Donc $\cos(\alpha) = \sqrt{0,36} = 0,6$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le côté opposé et le côté adjacent.
Oublier de mettre la calculatrice en mode "DEG" (degrés).
Penser que $\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 1$ (c'est faux, il faut les carrés).

L'essentiel du cours

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ :

$\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Propriétés fondamentales :

Pour tout angle aigu $\alpha$ : $0 < \cos(\alpha) < 1$ et $0 < \sin(\alpha) < 1$.
$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.
Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux angles complémentaires ($\alpha + \beta = 90^\circ$), alors : $\cos(\alpha) = \sin(\beta)$ et $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$.

Méthodes à maîtriser

Identifier correctement l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l'angle donné.
Utiliser la calculatrice pour trouver le cosinus, sinus ou tangente d'un angle, ou l'angle à partir d'une valeur.
Appliquer la relation $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ pour trouver une valeur manquante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=3, AC=4, BC=5$. $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0,6$.
Exemple 2 : Si $\sin(\alpha) = 0,8$, alors $\cos^2(\alpha) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$. Donc $\cos(\alpha) = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Erreurs fréquentes

Confondre le côté opposé et le côté adjacent.
Oublier de mettre la calculatrice en mode "DEG" (degrés).
Penser que $\cos(\alpha) + \sin(\alpha) = 1$ (c'est faux, il faut les carrés).

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🎯 حساب المثلثات

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Dans un triangle rectangle, le cosinus est le rapport de :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi l'hypoténuse dans un triangle rectangle ?

L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle. C'est toujours le côté qui est situé en face de l'angle droit ( $90^\circ$ ).

💡 À retenir : Il ne touche jamais l'angle droit.

L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle. C'est toujours le côté qui est situé en face de l'angle droit ($90^\circ$).

💡 À retenir : Il ne touche jamais l'angle droit.

Kifach n7seb cosinus dyal zawiya?

Chouf l-triangle dyalek, khasse ykoun rectangle.
7ded d-dli3 li 7da zawiya (l-mu7adi) w l-watar (l-watar).
Qsem l-mu7adi 3la l-watar.

💡 À retenir : $\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ .

Chouf l-triangle dyalek, khasse ykoun rectangle.
7ded d-dli3 li 7da zawiya (l-mu7adi) w l-watar (l-watar).
Qsem l-mu7adi 3la l-watar.

💡 À retenir : $\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

Est-ce que le sinus d'un angle peut être égal à 1,5 ?

Non, c'est impossible. Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 car le côté opposé est toujours plus petit que l'hypoténuse.

💡 À retenir : $0 < \sin(\alpha) < 1$ .

Non, c'est impossible. Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 car le côté opposé est toujours plus petit que l'hypoténuse.

💡 À retenir : $0 < \sin(\alpha) < 1$.

Chno hiya l-3ala9a bin cos w sin dyal nafs zawiya?

L-3ala9a l-mouhimma hiya : $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ .

💡 À retenir : Had l-qa3ida kat3awnek t-lqa wa7da ila 3endek l-okhra.

L-3ala9a l-mouhimma hiya : $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

💡 À retenir : Had l-qa3ida kat3awnek t-lqa wa7da ila 3endek l-okhra.

Comment savoir si j'utilise cos, sin ou tan ?

Cela dépend des informations que tu as :

Si tu as l'hypoténuse et le côté adjacent : utilise le cosinus.
Si tu as l'hypoténuse et le côté opposé : utilise le sinus.
Si tu as les deux côtés de l'angle droit : utilise la tangente.

💡 À retenir : SOH CAH TOA (Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent).

Wach momkin n-lqa zawiya ila 3andi ghir cosinus?

Oui, bien sûr. Tu utilises la touche "cos⁻¹" (ou "arccos") sur ta calculatrice.

💡 À retenir : Appuie sur "Shift" puis "cos" sur ta calculatrice.

Est-ce que la tangente peut être supérieure à 1 ?

Oui, tout à fait. Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente peut être n'importe quel nombre positif, car le côté opposé peut être plus grand que le côté adjacent.

💡 À retenir : La tangente n'est pas limitée à 1.

Kifach n-khdem b-l-calculatrice bach n-lqa l-zawiya?

T-2kked bli l-calculatrice f-mode "DEG" (D).
Ila 3endek l-cos, dir "Shift" -> "cos" -> "valeur".
L-calculatrice ghadi t3tik l-zawiya b-darajat.

💡 À retenir : Toujours vérifier le mode "DEG".

Si deux angles sont complémentaires, que se passe-t-il ?

Si $\alpha + \beta = 90^\circ$ , alors le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre. Par exemple, $\cos(30^\circ) = \sin(60^\circ)$ .

💡 À retenir : $\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$ .

Si $\alpha + \beta = 90^\circ$, alors le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre. Par exemple, $\cos(30^\circ) = \sin(60^\circ)$.

💡 À retenir : $\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$.

Pourquoi on dit "triangle rectangle" pour la trigonométrie ?

Parce que les formules du cosinus, sinus et tangente ne sont valables que dans un triangle qui possède un angle droit. C'est la base de ces rapports.

💡 À retenir : Pas de triangle rectangle, pas de trigonométrie (niveau 3ème année).

Est-ce que la valeur de cosinus change si le triangle est plus grand ?

Non, le cosinus ne dépend que de la mesure de l'angle, pas de la taille du triangle. C'est un rapport constant.

💡 À retenir : Le rapport des côtés reste le même pour un angle donné.

Est-ce que tan(alpha) = frac{cos(alpha)}{sin(alpha)} ?

Non, c'est l'inverse. La formule correcte est $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ .

💡 À retenir : Sinus en haut, Cosinus en bas.

Non, c'est l'inverse. La formule correcte est $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

💡 À retenir : Sinus en haut, Cosinus en bas.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

Calculer $BC$ .
Calculer $\cos(\widehat{ABC})$ et $\sin(\widehat{ABC})$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

Calculer $BC$.
Calculer $\cos(\widehat{ABC})$ et $\sin(\widehat{ABC})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$ . Calculer $\sin(\alpha)$ et $\tan(\alpha)$ .

Exercice 2

Soit $\alpha$ un angle aigu tel que $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$. Calculer $\sin(\alpha)$ et $\tan(\alpha)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC} = 30^\circ$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AC$ et $AB$ .

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC} = 30^\circ$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AC$ et $AB$.

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