Mathématiques · 3ème Année Collège

مبرهنة فيتاغورس السنة الثالثة اعدادي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle. Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ . Alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ Où $BC$ est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).

La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle : Si dans un triangle $ABC$ , on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors ce triangle est rectangle en $A$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer une longueur : Identifier l'hypoténuse, écrire l'égalité, remplacer les valeurs connues, isoler l'inconnue et calculer la racine carrée.
Démontrer qu'un triangle est rectangle : Calculer séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés. Comparer les résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=3$ et $AC=4$ . $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Donc $BC = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple 2 : $DEF$ avec $DE=6, EF=8, DF=10$ . $DF^2 = 100$ . $DE^2 + EF^2 = 36 + 64 = 100$ . Puisque $DF^2 = DE^2 + EF^2$ , alors $DEF$ est rectangle en $E$ .

Erreurs fréquentes

Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
Confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit.
Oublier d'élever les nombres au carré ou oublier la racine carrée à la fin.

L'essentiel du cours

Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle. Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Alors : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ Où $BC$ est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).

La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle : Si dans un triangle $ABC$, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors ce triangle est rectangle en $A$.

Méthodes à maîtriser

Calculer une longueur : Identifier l'hypoténuse, écrire l'égalité, remplacer les valeurs connues, isoler l'inconnue et calculer la racine carrée.
Démontrer qu'un triangle est rectangle : Calculer séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés. Comparer les résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=3$ et $AC=4$. $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $BC = \sqrt{25} = 5$.

Exemple 2 : $DEF$ avec $DE=6, EF=8, DF=10$. $DF^2 = 100$. $DE^2 + EF^2 = 36 + 64 = 100$. Puisque $DF^2 = DE^2 + EF^2$, alors $DEF$ est rectangle en $E$.

Erreurs fréquentes

Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
Confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit.
Oublier d'élever les nombres au carré ou oublier la racine carrée à la fin.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 مبرهنة فيتاغورس السنة الثالثة اعدادي

1/4

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , quelle est l'hypoténuse ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, quelle est l'hypoténuse ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que je peux utiliser Pythagore dans n'importe quel triangle ?

Non, absolument pas. Le théorème de Pythagore est réservé exclusivement aux triangles rectangles. Si le triangle n'a pas d'angle droit, tu ne peux pas utiliser cette relation.

💡 À retenir : Pas d'angle droit = pas de Pythagore.

Kifach n3ref chkoun houwa l'hypoténuse f triangle ?

L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Il est situé juste en face de l'angle droit (le côté qui ne touche pas l'angle de 90°).

💡 À retenir : L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

Est-ce que l'ordre des côtés change quelque chose dans la formule ?

Pour l'hypoténuse, oui, elle doit être seule d'un côté de l'égalité. Pour les deux autres côtés (les côtés de l'angle droit), l'ordre n'a pas d'importance car l'addition est commutative ( $a^2 + b^2 = b^2 + a^2$ ).

💡 À retenir : Hypoténuse² = Somme des carrés des deux autres côtés.

Wash ila kan triangle fih 90 daraja, dima nkhdem b Pythagore ?

Oui, si tu connais deux côtés et que tu cherches le troisième, c'est l'outil idéal. Si tu connais les trois côtés et que tu veux vérifier s'il est rectangle, tu utilises la réciproque.

💡 À retenir : Pythagore sert à calculer, la réciproque sert à prouver.

Kifach n7seb l'hypoténuse ila kano 3ndi dila3in lakhrin ?

Tu écris la formule : $Hypoténuse^2 = Côté1^2 + Côté2^2$ .
Tu remplaces par les valeurs.
Tu fais la somme.
Tu prends la racine carrée du résultat.

💡 À retenir : On additionne les carrés pour trouver l'hypoténuse.

Tu écris la formule : $Hypoténuse^2 = Côté1^2 + Côté2^2$.
Tu remplaces par les valeurs.
Tu fais la somme.
Tu prends la racine carrée du résultat.

💡 À retenir : On additionne les carrés pour trouver l'hypoténuse.

Si je cherche un côté de l'angle droit, est-ce que j'additionne ou je soustrais ?

Tu dois soustraire. Si $BC$ est l'hypoténuse, alors $AB^2 = BC^2 - AC^2$ . On soustrait toujours le carré du côté connu du carré de l'hypoténuse.

💡 À retenir : Pour un côté de l'angle droit, on soustrait.

Tu dois soustraire. Si $BC$ est l'hypoténuse, alors $AB^2 = BC^2 - AC^2$. On soustrait toujours le carré du côté connu du carré de l'hypoténuse.

💡 À retenir : Pour un côté de l'angle droit, on soustrait.

Est-ce que les longueurs peuvent être négatives ?

Non, une longueur est toujours un nombre positif. Si tu trouves un résultat négatif lors d'un calcul de carré, c'est qu'il y a une erreur dans tes étapes.

💡 À retenir : Une distance est toujours $\geq 0$ .

Non, une longueur est toujours un nombre positif. Si tu trouves un résultat négatif lors d'un calcul de carré, c'est qu'il y a une erreur dans tes étapes.

💡 À retenir : Une distance est toujours $\geq 0$.

Wash ila kan triangle fih 30, 40, 50, wach rectangle ?

Oui, il faut vérifier : $50^2 = 2500$ et $30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$ . Comme $2500 = 2500$ , le triangle est bien rectangle.

💡 À retenir : Vérifie toujours l'égalité des carrés.

Oui, il faut vérifier : $50^2 = 2500$ et $30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$. Comme $2500 = 2500$, le triangle est bien rectangle.

💡 À retenir : Vérifie toujours l'égalité des carrés.

Est-ce que je dois toujours écrire "d'après le théorème de Pythagore" ?

Oui, c'est obligatoire dans la rédaction d'un examen national pour justifier ton raisonnement. Sans cette phrase, ta démonstration est incomplète.

💡 À retenir : Toujours citer le théorème utilisé.

Pourquoi on utilise la racine carrée à la fin ?

Parce que la formule te donne le carré de la longueur ( $BC^2$ ). Pour obtenir la longueur réelle ( $BC$ ), il faut annuler le carré en utilisant la racine carrée.

💡 À retenir : $x^2 = a \implies x = \sqrt{a}$ .

Parce que la formule te donne le carré de la longueur ($BC^2$). Pour obtenir la longueur réelle ($BC$), il faut annuler le carré en utilisant la racine carrée.

💡 À retenir : $x^2 = a \implies x = \sqrt{a}$.

Est-ce que Pythagore marche avec des nombres décimaux ?

Oui, le théorème fonctionne avec tous les nombres réels (entiers, décimaux, racines carrées). La méthode reste exactement la même.

💡 À retenir : La règle ne change pas selon le type de nombre.

Est-ce que je peux utiliser Pythagore dans un cercle ?

Oui, si tu as un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est le diamètre, ce triangle est rectangle. Tu peux alors utiliser Pythagore.

💡 À retenir : Cercle + Diamètre = Triangle rectangle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

$MNP$ est un triangle rectangle en $M$ tel que $MN=3$ cm et $MP=4$ cm. Calculer $NP$ .

Exercice 1

$MNP$ est un triangle rectangle en $M$ tel que $MN=3$ cm et $MP=4$ cm. Calculer $NP$.

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Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $BC=10$ cm. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $BC=10$ cm. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

$RST$ est un triangle rectangle en $R$ tel que $RS=5$ cm et $ST=13$ cm. Calculer $RT$ .

Exercice 3

$RST$ est un triangle rectangle en $R$ tel que $RS=5$ cm et $ST=13$ cm. Calculer $RT$.

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