Mathématiques · 3ème Année Collège

معلم في المستوى

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un repère $(O, I, J)$ , tout point $M$ est défini par un couple de coordonnées $(x_M, y_M)$ .

Coordonnées d'un vecteur : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , alors $\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)$ .
Milieu d'un segment : Le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$ .
Distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un vecteur : Toujours faire (fin - début).
Calculer la distance : Ne pas oublier les parenthèses et le carré avant la racine.
Vérifier un milieu : Appliquer la formule de la moyenne des coordonnées.

Exemples corrigés

Vecteur : $A(1, 2)$ et $B(3, 5)$ . $\vec{AB}(3-1 ; 5-2) = \vec{AB}(2 ; 3)$ .
Distance : $AB = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ .
Milieu : $K(\frac{1+3}{2} ; \frac{2+5}{2}) = K(2 ; 3,5)$ .

Erreurs fréquentes

Inverser $x$ et $y$ dans le calcul du vecteur.
Oublier le signe « moins » lors d'une soustraction d'un nombre négatif (ex: $3 - (-2) = 5$ ).
Confondre la formule du milieu (somme) avec celle du vecteur (différence).

L'essentiel du cours

Dans un repère $(O, I, J)$, tout point $M$ est défini par un couple de coordonnées $(x_M, y_M)$.

Coordonnées d'un vecteur : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)$.
Milieu d'un segment : Le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un vecteur : Toujours faire (fin - début).
Calculer la distance : Ne pas oublier les parenthèses et le carré avant la racine.
Vérifier un milieu : Appliquer la formule de la moyenne des coordonnées.

Exemples corrigés

Vecteur : $A(1, 2)$ et $B(3, 5)$. $\vec{AB}(3-1 ; 5-2) = \vec{AB}(2 ; 3)$.
Distance : $AB = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
Milieu : $K(\frac{1+3}{2} ; \frac{2+5}{2}) = K(2 ; 3,5)$.

Erreurs fréquentes

Inverser $x$ et $y$ dans le calcul du vecteur.
Oublier le signe « moins » lors d'une soustraction d'un nombre négatif (ex: $3 - (-2) = 5$).
Confondre la formule du milieu (somme) avec celle du vecteur (différence).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 معلم في المستوى

1/4

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ avec $A(2, 3)$ et $B(5, 7)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment placer un point de coordonnées (2, -3) ?

Sur l'axe des abscisses, avance de 2 unités vers la droite.
Depuis ce point, descends de 3 unités parallèlement à l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : (x, y) = (droite/gauche, haut/bas).

Est-ce que je peux utiliser les vecteurs pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?

Oui, si $\vec{AB} = \vec{DC}$ , alors $ABCD$ est un parallélogramme.

💡 À retenir : Égalité des vecteurs = parallélogramme.

Oui, si $\vec{AB} = \vec{DC}$, alors $ABCD$ est un parallélogramme.

💡 À retenir : Égalité des vecteurs = parallélogramme.

Kifach n7seb l'ihdathiyat dyal vecteur AB?

Chouf l'ihdathiyat dyal B (x_B, y_B) w A (x_A, y_A).
Dir x_B - x_A bach tqlb 3la l'abscisse.
Dir y_B - y_A bach tqlb 3la l'ordonnée.

💡 À retenir : Dima kankhedmo b (fin - début).

Wach kayn farq bin l'ihdathiyat dyal nuqta w l'ihdathiyat dyal vecteur?

Ah, kayn farq kbir. L'ihdathiyat dyal nuqta katsm "ihdathiyat nuqta" (x,y) w hiya l'emplacement dyalha f l'm3lam. L'ihdathiyat dyal vecteur katsm "ihdathiyat vecteur" w hiya l'i7i3a dyal l'intiqal (ch7al t7rkat l'nuqta).

💡 À retenir : Nuqta hiya blassa, vecteur howa l'i7i3a.

Kifach n3rf wach l'm3lam orthonormé wla la?

L'm3lam kaykon orthonormé (O, I, J) ila kan (OI) 3amoudi 3la (OJ) w l'masafa OI = OJ = 1.

💡 À retenir : 3amoudiya + nafs l'wihda.

Est-ce que l'ordre des points change le résultat de la distance AB ?

Non, la distance $AB$ est égale à la distance $BA$ . Le calcul sous la racine carrée donne le même résultat car le carré d'un nombre négatif est positif.

💡 À retenir : $AB = BA$ .

Non, la distance $AB$ est égale à la distance $BA$. Le calcul sous la racine carrée donne le même résultat car le carré d'un nombre négatif est positif.

💡 À retenir : $AB = BA$.

Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?

Il faut faire la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des deux extrémités.

💡 À retenir : $x_M = \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A+y_B}{2}$ .

Il faut faire la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des deux extrémités.

💡 À retenir : $x_M = \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A+y_B}{2}$.

Pourquoi on utilise la racine carrée dans la distance ?

Parce que la distance est basée sur le théorème de Pythagore dans le repère. La racine permet de revenir à la longueur réelle après avoir sommé les carrés des différences.

💡 À retenir : $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ .

Parce que la distance est basée sur le théorème de Pythagore dans le repère. La racine permet de revenir à la longueur réelle après avoir sommé les carrés des différences.

💡 À retenir : $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$.

Est-ce que les coordonnées peuvent être négatives ?

Oui, tout à fait. Si le point est situé à gauche de l'axe des ordonnées ou en dessous de l'axe des abscisses, ses coordonnées seront négatives.

💡 À retenir : Le signe dépend du quadrant.

Chno hiya l'ihdathiyat dyal l'asl O?

L'asl dyal l'm3lam O 3ndo (0,0) f l'ihdathiyat dyalou.

💡 À retenir : O(0,0).

Comment savoir si un vecteur est nul ?

Un vecteur est nul si ses deux coordonnées sont égales à zéro.

💡 À retenir : $\vec{u}(0,0) \iff \vec{u} = \vec{0}$ .

Un vecteur est nul si ses deux coordonnées sont égales à zéro.

💡 À retenir : $\vec{u}(0,0) \iff \vec{u} = \vec{0}$.

Est-ce que la formule de la distance change si le repère n'est pas orthonormé ?

Oui, la formule $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé.

💡 À retenir : Vérifier toujours si le repère est orthonormé.

Oui, la formule $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé.

💡 À retenir : Vérifier toujours si le repère est orthonormé.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$ , on considère les points $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
Calculer la distance $AB$ .
Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$ .

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère les points $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la distance $AB$.
Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $A(-2, 3)$ et $B(2, 0)$ .

Calculer la distance $AB$ .
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$ . Quelles sont les coordonnées de $C$ ?

Exercice 2

Soient $A(-2, 3)$ et $B(2, 0)$.

Calculer la distance $AB$.
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$. Quelles sont les coordonnées de $C$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ et $C(2, 4)$ .

Calculer les distances $AB$ , $AC$ et $BC$ .
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1, 1)$, $B(4, 2)$ et $C(2, 4)$.

Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

الحساب العددي : المتطابقات الهامة الحساب العددي : القوى الحساب العددي : الجذور المربعة مبرهنة فيتاغورس السنة الثالثة اعدادي مبرهنة طاليس المعادلات مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي الترتيب و المتراجحات الزوايا المركزية و الزوايا المحيطية في الدائرة المثلثات المتشابهة المتجهات والإزاحة مادة الرياضيات السنة الثالثة اعدادي نظمات معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين معادلة مستقيم حساب المثلثات الهندسة الفضائية الإحصاء