Mathématiques · 3ème Année Collège

الحساب العددي : الجذور المربعة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soit $a$ un nombre réel positif. $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$ . On a $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$ (si $a \geq 0$ ).
Propriétés :
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$ )
- $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$ (avec $a \geq 0, b \geq 0$ )
Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ .

Méthodes à maîtriser

Simplifier une racine carrée en cherchant les carrés parfaits (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).
Rendre le dénominateur rationnel en multipliant par la quantité conjuguée ou la racine elle-même.
Développer des expressions contenant des racines carrées en utilisant la distributivité.

Exemples corrigés

Simplifier $\sqrt{72}$ : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
Rendre rationnel $\frac{3}{\sqrt{5}}$ : $\frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ .

Erreurs fréquentes

Écrire $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (C'est une erreur grave !).
Oublier que $\sqrt{a^2} = |a|$ , donc si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$ .
Ne pas simplifier jusqu'au bout.

L'essentiel du cours

Définition : Soit $a$ un nombre réel positif. $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$. On a $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$ (si $a \geq 0$).
Propriétés :
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$)
- $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$ (avec $a \geq 0, b \geq 0$)
Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Méthodes à maîtriser

Simplifier une racine carrée en cherchant les carrés parfaits (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).
Rendre le dénominateur rationnel en multipliant par la quantité conjuguée ou la racine elle-même.
Développer des expressions contenant des racines carrées en utilisant la distributivité.

Exemples corrigés

Simplifier $\sqrt{72}$ : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Rendre rationnel $\frac{3}{\sqrt{5}}$ : $\frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Erreurs fréquentes

Écrire $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (C'est une erreur grave !).
Oublier que $\sqrt{a^2} = |a|$, donc si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$.
Ne pas simplifier jusqu'au bout.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الحساب العددي : الجذور المربعة

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La valeur de $\sqrt{16+9}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que sqrt{-9} existe ?

Non, dans le programme de la 3ème année collège, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Le nombre sous le radical doit toujours être positif ou nul.

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\sqrt{x}$ est $x \geq 0$ .

Non, dans le programme de la 3ème année collège, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Le nombre sous le radical doit toujours être positif ou nul.

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\sqrt{x}$ est $x \geq 0$.

Kifach n7seb sqrt{2} + sqrt{3} ?

On ne peut pas additionner $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ . Ils ne sont pas semblables. On laisse l'expression telle quelle. On ne peut additionner que des racines de même nature, par exemple $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ .

💡 À retenir : On additionne les racines comme on additionne les « $x$ » dans le calcul littéral.

On ne peut pas additionner $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$. Ils ne sont pas semblables. On laisse l'expression telle quelle. On ne peut additionner que des racines de même nature, par exemple $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

💡 À retenir : On additionne les racines comme on additionne les « $x$ » dans le calcul littéral.

Est-ce que sqrt{a^2+b^2} = a+b ?

Absolument pas. Par exemple, si $a=3$ et $b=4$ , $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $a+b = 3+4 = 7$ . Comme $5 \neq 7$ , la formule est fausse.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer la racine sur une somme ou une différence.

Absolument pas. Par exemple, si $a=3$ et $b=4$, $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $a+b = 3+4 = 7$. Comme $5 \neq 7$, la formule est fausse.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer la racine sur une somme ou une différence.

Chno hiya l'qawa3id dyal l'derb f l'racine ?

Pour le produit, c'est simple : tu peux multiplier les nombres à l'intérieur de la racine.

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ .
Exemple : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ .

💡 À retenir : La racine carrée « aime » la multiplication et la division, mais « déteste » l'addition et la soustraction.

Pour le produit, c'est simple : tu peux multiplier les nombres à l'intérieur de la racine.

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
Exemple : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.

💡 À retenir : La racine carrée « aime » la multiplication et la division, mais « déteste » l'addition et la soustraction.

Comment rendre le dénominateur rationnel pour frac{1}{sqrt{2}-1} ?

Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée, qui est $(\sqrt{2}+1)$ .

$\frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$
Au dénominateur, on utilise l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ .
$\frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$ .

💡 À retenir : La quantité conjuguée de $a-b$ est $a+b$ .

Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée, qui est $(\sqrt{2}+1)$.

$\frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$
Au dénominateur, on utilise l'identité $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$\frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.

💡 À retenir : La quantité conjuguée de $a-b$ est $a+b$.

Kifach n3ref wach l'adad li dakhel l'racine fih carré parfait ?

Il faut connaître par cœur les carrés des nombres de 1 à 12 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Si ton nombre est divisible par l'un de ceux-là, tu peux simplifier.

💡 À retenir : Décompose ton nombre en facteurs premiers si tu as un doute.

Est-ce que (sqrt{a})^2 est toujours égal à a ?

Oui, à condition que $a$ soit positif. Si $a$ est négatif, $\sqrt{a}$ n'existe pas, donc l'expression n'a pas de sens.

💡 À retenir : $(\sqrt{a})^2 = a$ pour tout $a \geq 0$ .

Oui, à condition que $a$ soit positif. Si $a$ est négatif, $\sqrt{a}$ n'existe pas, donc l'expression n'a pas de sens.

💡 À retenir : $(\sqrt{a})^2 = a$ pour tout $a \geq 0$.

Pourquoi on dit que sqrt{x^2} = |x| ?

Parce que le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif. Si $x = -5$ , alors $x^2 = 25$ et $\sqrt{25} = 5$ . Comme $5$ est l'opposé de $-5$ , on écrit $|-5| = 5$ .

💡 À retenir : La racine carrée renvoie toujours une valeur positive.

Parce que le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif. Si $x = -5$, alors $x^2 = 25$ et $\sqrt{25} = 5$. Comme $5$ est l'opposé de $-5$, on écrit $|-5| = 5$.

💡 À retenir : La racine carrée renvoie toujours une valeur positive.

Est-ce que sqrt{a^3} = asqrt{a} ?

Oui, car $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \times a} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{a} = a\sqrt{a}$ (pour $a \geq 0$ ).

💡 À retenir : On sort toujours les puissances paires de la racine.

Oui, car $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \times a} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{a} = a\sqrt{a}$ (pour $a \geq 0$).

💡 À retenir : On sort toujours les puissances paires de la racine.

Comment comparer 2sqrt{3} et 3sqrt{2} ?

Pour comparer, on élève les deux nombres au carré :

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ .
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$ .
Comme $12 < 18$ , alors $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ .

💡 À retenir : Si $a, b > 0$ , alors $a < b \iff a^2 < b^2$ .

Pour comparer, on élève les deux nombres au carré :

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$.
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.
Comme $12 < 18$, alors $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

💡 À retenir : Si $a, b > 0$, alors $a < b \iff a^2 < b^2$.

Est-ce que sqrt{a} times sqrt{a} = a ?

Oui, c'est la définition même de la racine carrée. Le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $a$ .

💡 À retenir : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$ .

Oui, c'est la définition même de la racine carrée. Le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $a$.

💡 À retenir : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$.

Est-ce que sqrt{a+b} = sqrt{a}+sqrt{b} est vrai pour a=0 ou b=0 ?

Oui, si l'un des deux est nul, l'égalité est vérifiée : $\sqrt{0+b} = \sqrt{b}$ et $\sqrt{0}+\sqrt{b} = 0+\sqrt{b} = \sqrt{b}$ . Mais c'est le seul cas !

💡 À retenir : Ne généralisez jamais ce cas particulier.

Oui, si l'un des deux est nul, l'égalité est vérifiée : $\sqrt{0+b} = \sqrt{b}$ et $\sqrt{0}+\sqrt{b} = 0+\sqrt{b} = \sqrt{b}$. Mais c'est le seul cas !

💡 À retenir : Ne généralisez jamais ce cas particulier.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes : $A = 3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{80}$ $B = \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{2})$

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes : $A = 3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{80}$ $B = \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{2})$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Rendre le dénominateur rationnel : $C = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $D = \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

Exercice 2

Rendre le dénominateur rationnel : $C = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $D = \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $x = \sqrt{3} + 1$ et $y = \sqrt{3} - 1$ .

Calculer $x^2$ et $y^2$ .
Calculer $x \times y$ .

Exercice 3

Soit $x = \sqrt{3} + 1$ et $y = \sqrt{3} - 1$.

Calculer $x^2$ et $y^2$.
Calculer $x \times y$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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