Mathématiques · 3ème Année Collège

الزوايا المركزية و الزوايا المحيطية في الدائرة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Angle au centre : C'est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Angle inscrit : C'est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.
Propriété 1 : La mesure d'un angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Si $\widehat{AMB}$ est inscrit et $\widehat{AOB}$ est au centre, alors $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AMB}$ .
Propriété 2 : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Propriété 3 : Si un angle inscrit intercepte un diamètre, alors c'est un angle droit ( $90^\circ$ ).

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'angle est au centre ou inscrit.
Repérer l'arc intercepté par l'angle.
Utiliser la relation $2 \times \text{inscrit} = \text{au centre}$ .
Justifier toujours par : "car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $\widehat{AMB} = 30^\circ$ , alors $\widehat{AOB} = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$ .
Exemple 2 : Si $\widehat{ACB} = 40^\circ$ et $\widehat{ADB}$ intercepte le même arc, alors $\widehat{ADB} = 40^\circ$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le sommet (centre vs cercle).
Oublier de multiplier ou diviser par 2.
Croire que deux angles sont égaux alors qu'ils n'interceptent pas le même arc.

L'essentiel du cours

Angle au centre : C'est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Angle inscrit : C'est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.
Propriété 1 : La mesure d'un angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Si $\widehat{AMB}$ est inscrit et $\widehat{AOB}$ est au centre, alors $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AMB}$.
Propriété 2 : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Propriété 3 : Si un angle inscrit intercepte un diamètre, alors c'est un angle droit ($90^\circ$).

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'angle est au centre ou inscrit.
Repérer l'arc intercepté par l'angle.
Utiliser la relation $2 \times \text{inscrit} = \text{au centre}$.
Justifier toujours par : "car ce sont deux angles inscrits interceptant le même arc".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $\widehat{AMB} = 30^\circ$, alors $\widehat{AOB} = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Exemple 2 : Si $\widehat{ACB} = 40^\circ$ et $\widehat{ADB}$ intercepte le même arc, alors $\widehat{ADB} = 40^\circ$.

Erreurs fréquentes

Confondre le sommet (centre vs cercle).
Oublier de multiplier ou diviser par 2.
Croire que deux angles sont égaux alors qu'ils n'interceptent pas le même arc.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الزوايا المركزية و الزوايا المحيطية في الدائرة

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Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle mesure :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que tous les angles inscrits sont égaux ?

Non, seulement ceux qui interceptent le même arc. Si les arcs sont différents, les angles n'ont aucune raison d'être égaux.

💡 À retenir : L'égalité ne marche que pour le même arc.

Kifach n3ref wach zawya markaziya wla mohitiya ?

Chouf rasse (sommet) dyal zawya : ila kan f lmarkaz dyal dawra, rah markaziya. Ila kan f lmohit, rah mohitiya.

💡 À retenir : Le sommet définit le type de l'angle.

Est-ce que l'angle au centre peut être plus petit que l'angle inscrit ?

Non, c'est impossible. L'angle au centre est toujours le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

💡 À retenir : Angle au centre = 2 × Angle inscrit.

Chno hiya l3ala9a bin l9aws w zawya ?

L'angle inscrit "regarde" un arc. Plus l'arc est grand, plus l'angle est grand. La mesure de l'angle est proportionnelle à la longueur de l'arc.

💡 À retenir : Un arc définit l'angle qui l'intercepte.

Kifach n7seb zawya ila 3touni l9aws ?

Si tu as la mesure de l'arc en degrés, l'angle au centre a la même mesure. L'angle inscrit en aura la moitié.

💡 À retenir : Angle au centre = mesure de l'arc.

Est-ce que le sommet de l'angle inscrit doit être obligatoirement sur le cercle ?

Oui, c'est la définition même d'un angle inscrit. Si le sommet est à l'intérieur ou à l'extérieur, ce n'est plus un angle inscrit.

💡 À retenir : Sommet sur le cercle = angle inscrit.

Si j'ai un triangle dans un cercle dont un côté est le diamètre, est-il rectangle ?

Oui, car l'angle opposé au diamètre est un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle ( $180^\circ$ ), donc il mesure $180^\circ / 2 = 90^\circ$ .

💡 À retenir : Diamètre = angle droit.

Oui, car l'angle opposé au diamètre est un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle ($180^\circ$), donc il mesure $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

💡 À retenir : Diamètre = angle droit.

Est-ce que l'angle au centre peut dépasser 180^circ ?

Oui, c'est un angle rentrant, mais dans le programme de 3ème année, on travaille généralement sur des angles inférieurs à $180^\circ$ .

💡 À retenir : Restez sur les angles saillants (inférieurs à 180°).

Oui, c'est un angle rentrant, mais dans le programme de 3ème année, on travaille généralement sur des angles inférieurs à $180^\circ$.

💡 À retenir : Restez sur les angles saillants (inférieurs à 180°).

Est-ce que deux angles inscrits qui interceptent des arcs de même longueur sont égaux ?

Oui, car des arcs de même longueur dans un même cercle correspondent à des angles de même mesure.

💡 À retenir : Arcs égaux = Angles égaux.

Est-ce que le centre du cercle doit être à l'intérieur de l'angle inscrit ?

Pas forcément. Le sommet doit juste être sur le cercle. La position du centre n'influence pas la propriété de l'angle inscrit.

💡 À retenir : La position du centre importe peu.

Wach momkin nst3mlou had l9awa3id f triangle li machi f dawra ?

Non, ces propriétés sont valables uniquement si les points appartiennent à un cercle.

💡 À retenir : Le cercle est indispensable.

Pourquoi on multiplie par 2 ?

C'est une propriété géométrique démontrée par le fait que l'angle au centre est la somme de deux angles à la base de triangles isocèles formés par les rayons.

💡 À retenir : C'est une règle fondamentale du cercle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un cercle de centre $O$ . $A$ , $B$ et $C$ sont trois points du cercle tels que $\widehat{AOB} = 80^\circ$ . Calculer $\widehat{ACB}$ sachant que $C$ est sur le grand arc $AB$ .

Exercice 1

Soit un cercle de centre $O$. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du cercle tels que $\widehat{AOB} = 80^\circ$. Calculer $\widehat{ACB}$ sachant que $C$ est sur le grand arc $AB$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit un cercle de diamètre $[AB]$ et $M$ un point du cercle. Montrer que $\widehat{AMB} = 90^\circ$ .

Exercice 2

Soit un cercle de diamètre $[AB]$ et $M$ un point du cercle. Montrer que $\widehat{AMB} = 90^\circ$.

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Exercice 3

Soit un cercle de centre $O$ . $A, B, C, D$ sont des points du cercle. On donne $\widehat{ADB} = 35^\circ$ . Calculer $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AOB}$ .

Exercice 3

Soit un cercle de centre $O$. $A, B, C, D$ sont des points du cercle. On donne $\widehat{ADB} = 35^\circ$. Calculer $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AOB}$.

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