Relations binaires

Non, jamais. Une relation d'équivalence est symétrique, alors qu'une relation d'ordre est antisymétrique. Si une relation est à la fois d'équivalence et d'ordre, elle se réduit à l'égalité ($x \mathcal{R} y \iff x = y$).

💡 À retenir : Les deux notions sont opposées dans leur structure.

1. Tu écris la définition : $cl(x) = {y \in E / x \mathcal{R} y}$.
2. Tu remplaces $x \mathcal{R} y$ par la condition donnée dans l'énoncé.
3. Tu résous l'équation ou l'inéquation pour trouver tous les $y$ possibles.

💡 À retenir : La classe d'équivalence est l'ensemble de tous les "amis" de $x$ selon la relation.

1. Ordre total : Tous les éléments sont comparables (pour tout $x, y$, soit $x \leq y$ soit $y \leq x$).
2. Ordre partiel : Il existe au moins deux éléments qu'on ne peut pas comparer.

💡 À retenir : Dans un ordre total, on peut toujours classer les éléments sur une ligne.

Oui, par exemple la relation $<$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas réflexive car $x < x$ est faux. Elle n'est donc ni d'équivalence ni d'ordre.

💡 À retenir : La réflexivité est une condition nécessaire pour les deux types de relations étudiées.

C'est la propriété qui empêche les cycles de longueur 2. Si $x$ est en relation avec $y$ et que $y$ est en relation avec $x$, alors forcément $x$ et $y$ sont le même élément.

💡 À retenir : C'est ce qui permet de définir un "ordre" strict.

1. Tu supposes $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z$.
2. Tu utilises les définitions pour écrire les égalités ou inégalités correspondantes.
3. Tu en déduis $x \mathcal{R} z$.

💡 À retenir : La transitivité est le "pont" entre $x$ et $z$ via $y$.

Oui, c'est la relation vide. Elle n'est réflexive que si l'ensemble de départ est vide.

💡 À retenir : Une relation est un sous-ensemble de $E \times E$.

Non, $cl(x) = cl(y)$ équivaut à $x \mathcal{R} y$. Si $x$ et $y$ sont en relation, ils appartiennent à la même classe.

💡 À retenir : Deux éléments sont dans la même classe s'ils sont équivalents.

Oui, dans un ordre partiel, on peut avoir plusieurs éléments qui ne sont plus petits que rien d'autre.

💡 À retenir : "Maximal" ne veut pas dire "plus grand que tout le monde".

C'est un théorème du cours : toute relation d'équivalence définit une partition, et toute partition définit une relation d'équivalence.

💡 À retenir : C'est une équivalence logique fondamentale.

Oui. Elle est réflexive ($a|a$), antisymétrique ($a|b$ et $b|a \implies a=b$) et transitive ($a|b$ et $b|c \implies a|c$).

💡 À retenir : C'est l'exemple classique d'ordre partiel.

Oui, sur un sous-ensemble. Mais attention, cela ne s'appelle pas une relation d'équivalence.

💡 À retenir : La réflexivité est indispensable pour parler de "classe d'équivalence".