Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Ensembles et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Application : Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f: E \to F$ associe à tout $x \in E$ un unique $f(x) \in F$ .
Injection : $f$ est injective si $\forall (x, y) \in E^2, f(x) = f(y) \implies x = y$ .
Surjection : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijection : $f$ est bijective si elle est injective et surjective. Elle admet alors une application réciproque $f^{-1}: F \to E$ .
Composée : Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ , alors $g \circ f: E \to G$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer l'injectivité : Partir de $f(x) = f(y)$ et aboutir à $x = y$ .
Démontrer la surjectivité : Résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ dans $E$ pour tout $y \in F$ .
Démontrer la bijection : Montrer que pour tout $y \in F$ , l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution $x \in E$ .
Composée : La composée de deux injections est une injection. Idem pour les surjections.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$ . $f$ n'est pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$ . Elle n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent.
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x + 3$ . $f$ est bijective car $y = 2x + 3 \iff x = \frac{y-3}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ est toujours vrai (c'est faux en général, seule l'inclusion $\subset$ est vraie).

L'essentiel du cours

Application : Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f: E \to F$ associe à tout $x \in E$ un unique $f(x) \in F$.
Injection : $f$ est injective si $\forall (x, y) \in E^2, f(x) = f(y) \implies x = y$.
Surjection : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijection : $f$ est bijective si elle est injective et surjective. Elle admet alors une application réciproque $f^{-1}: F \to E$.
Composée : Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$, alors $g \circ f: E \to G$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer l'injectivité : Partir de $f(x) = f(y)$ et aboutir à $x = y$.
Démontrer la surjectivité : Résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ dans $E$ pour tout $y \in F$.
Démontrer la bijection : Montrer que pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution $x \in E$.
Composée : La composée de deux injections est une injection. Idem pour les surjections.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$. $f$ n'est pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$. Elle n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent.
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x + 3$. $f$ est bijective car $y = 2x + 3 \iff x = \frac{y-3}{2}$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ est toujours vrai (c'est faux en général, seule l'inclusion $\subset$ est vraie).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Ensembles et applications

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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3$ . $f$ est :

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3$. $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toute fonction est une application ?

Non, en mathématiques, une application doit être définie pour tout élément de l'ensemble de départ. Une fonction peut ne pas être définie sur tout l'ensemble (ex: $f(x) = 1/x$ sur $\mathbb{R}$ ).

💡 À retenir : Une application est une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble de départ tout entier.

Kifach n7seb l'image réciproque d'un intervalle ?

Pour trouver $f^{-1}(I)$ , tu dois résoudre l'inéquation $f(x) \in I$ .

Pose $x \in f^{-1}(I) \iff f(x) \in I$ .
Remplace $f(x)$ par son expression.
Résous l'inéquation pour trouver les valeurs de $x$ .

💡 À retenir : L'image réciproque est l'ensemble des $x$ dont l'image tombe dans l'intervalle donné.

Pour trouver $f^{-1}(I)$, tu dois résoudre l'inéquation $f(x) \in I$.

Pose $x \in f^{-1}(I) \iff f(x) \in I$.
Remplace $f(x)$ par son expression.
Résous l'inéquation pour trouver les valeurs de $x$.

💡 À retenir : L'image réciproque est l'ensemble des $x$ dont l'image tombe dans l'intervalle donné.

C'est quoi la différence entre une injection et une surjection ?

Injection : Chaque élément de l'arrivée est atteint au plus une fois.
Surjection : Chaque élément de l'arrivée est atteint au moins une fois.

💡 À retenir : L'injection interdit les "doublons", la surjection interdit les "orphelins" (éléments non atteints).

Chno hiya l-farq bin l-image directe o l-image réciproque ?

L'image directe $f(A)$ : tu prends les éléments de $A$ et tu regardes où ils arrivent.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ : tu prends les éléments de $B$ et tu cherches qui les a envoyés.

💡 À retenir : L'image directe "pousse" les éléments, l'image réciproque "remonte" les antécédents.

L'image directe $f(A)$ : tu prends les éléments de $A$ et tu regardes où ils arrivent.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ : tu prends les éléments de $B$ et tu cherches qui les a envoyés.

💡 À retenir : L'image directe "pousse" les éléments, l'image réciproque "remonte" les antécédents.

Si f est bijective, est-ce que f^{-1} est aussi bijective ?

Oui, absolument. Si $f$ est une bijection de $E$ vers $F$ , alors $f^{-1}$ est une bijection de $F$ vers $E$ .

💡 À retenir : La réciproque d'une bijection est toujours une bijection.

Oui, absolument. Si $f$ est une bijection de $E$ vers $F$, alors $f^{-1}$ est une bijection de $F$ vers $E$.

💡 À retenir : La réciproque d'une bijection est toujours une bijection.

Kifach n-biyen bli wahed t-tbiq bijektif ?

Biyen bli $f$ injective (b-tariqat $f(x)=f(y) \implies x=y$ ).
Biyen bli $f$ surjective (b-tariqat $f(x)=y$ 3ndha 7al).
Awla 7awel t-lqa $f^{-1}$ direct.

💡 À retenir : La méthode la plus sûre est de montrer l'existence et l'unicité de l'antécédent.

Biyen bli $f$ injective (b-tariqat $f(x)=f(y) \implies x=y$).
Biyen bli $f$ surjective (b-tariqat $f(x)=y$ 3ndha 7al).
Awla 7awel t-lqa $f^{-1}$ direct.

💡 À retenir : La méthode la plus sûre est de montrer l'existence et l'unicité de l'antécédent.

Est-ce que la composée de deux bijections est une bijection ?

Oui. Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est une bijection de $E$ vers $G$ .

💡 À retenir : La composée conserve les propriétés de bijectivité.

Oui. Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est une bijection de $E$ vers $G$.

💡 À retenir : La composée conserve les propriétés de bijectivité.

Peut-on avoir une injection qui n'est pas une surjection ?

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ . Elle est injective mais pas surjective (car $e^x > 0$ ).

💡 À retenir : L'injectivité ne garantit pas la surjectivité.

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$. Elle est injective mais pas surjective (car $e^x > 0$).

💡 À retenir : L'injectivité ne garantit pas la surjectivité.

Est-ce que f(A cup B) = f(A) cup f(B) ?

Oui, cette égalité est toujours vraie pour l'image directe.

💡 À retenir : L'image directe respecte la réunion, mais pas forcément l'intersection.

Si f est surjective, est-ce que f(f^{-1}(B)) = B ?

Oui, si $f$ est surjective, alors pour tout $B \subset F$ , on a $f(f^{-1}(B)) = B$ .

💡 À retenir : La surjectivité permet de "récupérer" tout l'ensemble d'arrivée.

Oui, si $f$ est surjective, alors pour tout $B \subset F$, on a $f(f^{-1}(B)) = B$.

💡 À retenir : La surjectivité permet de "récupérer" tout l'ensemble d'arrivée.

Comment montrer qu'une application n'est pas injective ?

Il suffit de trouver deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$ . C'est ce qu'on appelle un contre-exemple.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider l'injectivité.

Il suffit de trouver deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$. C'est ce qu'on appelle un contre-exemple.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider l'injectivité.

Est-ce que l'ensemble des parties mathcal{P}(E) est toujours fini ?

Non, si $E$ est infini, $\mathcal{P}(E)$ est infini. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{card(E)}$ .

Non, si $E$ est infini, $\mathcal{P}(E)$ est infini. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{card(E)}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ .

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$ ).
En déduire que $f$ est bijective et donner sa réciproque.

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {1}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$).
En déduire que $f$ est bijective et donner sa réciproque.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 - 2x$ .

$f$ est-elle injective ? Justifier.
Déterminer l'image directe $f([0, 2])$ .

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 - 2x$.

$f$ est-elle injective ? Justifier.
Déterminer l'image directe $f([0, 2])$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications. Montrer que si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.

Exercice 3

Soit $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications. Montrer que si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.

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