Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ . L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le réel $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles.
Intégration par parties : Choisir $u$ selon la règle "LPET" (Log, Polynôme, Expo, Trigo).
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$ , donc $dt = \phi'(x)dx$ , et changer les bornes.
Encadrement : Si $m \leq f(x) \leq M$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$ .

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$ . On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$ . $I = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: $\int e^x dx = e^x$ , pas $e^x+C$ dans une intégrale définie).
Ne pas vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le réel $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles.
Intégration par parties : Choisir $u$ selon la règle "LPET" (Log, Polynôme, Expo, Trigo).
Changement de variable : Poser $t = \phi(x)$, donc $dt = \phi'(x)dx$, et changer les bornes.
Encadrement : Si $m \leq f(x) \leq M$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$.

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$. On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$. $I = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: $\int e^x dx = e^x$, pas $e^x+C$ dans une intégrale définie).
Ne pas vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral

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La valeur de $\int_0^1 x^2 dx$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours strictement positive ?

Non, si $f \geq 0$ et $f$ est continue, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ . Elle est strictement positive si et seulement si $f$ n'est pas identiquement nulle sur $[a, b]$ .

💡 À retenir : L'intégrale d'une fonction positive est nulle si la fonction est nulle partout.

Non, si $f \geq 0$ et $f$ est continue, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. Elle est strictement positive si et seulement si $f$ n'est pas identiquement nulle sur $[a, b]$.

💡 À retenir : L'intégrale d'une fonction positive est nulle si la fonction est nulle partout.

kifach n3ref wach nst3mel l-moukamala b-l-ajza2 wla tghyir l-moutaghayir ?

Utilise l'intégration par parties si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \ln x$ ou $x e^x$ ).
Utilise le changement de variable si tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$ .

💡 À retenir : Cherche toujours la forme $u' \cdot f(u)$ pour le changement de variable.

Utilise l'intégration par parties si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \ln x$ ou $x e^x$).
Utilise le changement de variable si tu vois une fonction composée $f(g(x))$ multipliée par la dérivée $g'(x)$.

💡 À retenir : Cherche toujours la forme $u' \cdot f(u)$ pour le changement de variable.

Est-ce que la relation de Chasles s'applique si c n'est pas entre a et b ?

Oui, la relation $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ est vraie pour tout réel $c$ appartenant à un intervalle où $f$ est continue.

💡 À retenir : Chasles est universelle pour les intégrales définies.

Oui, la relation $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ est vraie pour tout réel $c$ appartenant à un intervalle où $f$ est continue.

💡 À retenir : Chasles est universelle pour les intégrales définies.

chno hiya l-qima l-motawassita dyal d-dala ?

La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ est le nombre réel $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la courbe.

La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ est le nombre réel $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la courbe.

Comment calculer l'intégrale d'une fonction valeur absolue ?

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
Utilise la relation de Chasles pour découper l'intégrale aux points où l'expression s'annule.
Remplace $|f(x)|$ par $f(x)$ ou $-f(x)$ selon le signe sur chaque intervalle.

💡 À retenir : Il faut toujours "casser" l'intégrale aux points de changement de signe.

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
Utilise la relation de Chasles pour découper l'intégrale aux points où l'expression s'annule.
Remplace $|f(x)|$ par $f(x)$ ou $-f(x)$ selon le signe sur chaque intervalle.

💡 À retenir : Il faut toujours "casser" l'intégrale aux points de changement de signe.

wach l-moukamala b-l-ajza2 katkhdem f-ga3 l-7alat ?

Non, elle ne fonctionne que si tu peux trouver une primitive de $v'(x)$ et si le nouveau terme $\int u'v$ est plus simple que l'original.

💡 À retenir : Si l'intégrale devient plus compliquée, change de choix pour $u$ et $v'$ .

Non, elle ne fonctionne que si tu peux trouver une primitive de $v'(x)$ et si le nouveau terme $\int u'v$ est plus simple que l'original.

💡 À retenir : Si l'intégrale devient plus compliquée, change de choix pour $u$ et $v'$.

Que signifie inta^a f(x) dx ?

Cela vaut toujours 0, car $F(a) - F(a) = 0$ .

💡 À retenir : L'aire d'un segment est nulle.

Cela vaut toujours 0, car $F(a) - F(a) = 0$.

💡 À retenir : L'aire d'un segment est nulle.

kifach n7seb l-misa7a bin l-man7ana o l-me7war dyal l-afasib ?

L'aire est donnée par $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ en unités d'aire (u.a.).

💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue, sinon le résultat peut être négatif.

L'aire est donnée par $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ en unités d'aire (u.a.).

💡 À retenir : N'oublie pas la valeur absolue, sinon le résultat peut être négatif.

Peut-on inverser les bornes d'une intégrale ?

Oui, $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe du résultat.

Oui, $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Inverser les bornes change le signe du résultat.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = (inta^b f(x) dx) times (inta^b g(x) dx) ?

Non, c'est une erreur très grave. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

💡 À retenir : La linéarité ne s'applique qu'à la somme et à la multiplication par un scalaire.

Comment utiliser l'inégalité de la moyenne pour encadrer une intégrale ?

Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$ .

💡 À retenir : C'est très utile quand on ne peut pas calculer la primitive directement.

Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$.

💡 À retenir : C'est très utile quand on ne peut pas calculer la primitive directement.

Pourquoi on ajoute toujours + C dans les primitives mais pas dans les intégrales ?

Dans une intégrale définie, la constante $C$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$ .

💡 À retenir : $C - C = 0$ , donc on ne l'écrit pas.

Dans une intégrale définie, la constante $C$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$.

💡 À retenir : $C - C = 0$, donc on ne l'écrit pas.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 1) e^x dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 1) e^x dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . Calculer $J = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Calculer $J = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$.

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Exercice 3

Calculer $K = \int_1^e \ln(x) dx$ .

Exercice 3

Calculer $K = \int_1^e \ln(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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