Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application définie sur un espace probabilisé $(\Omega, P)$ vers un ensemble fini ou dénombrable de $\mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$ .
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la loi : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ et calculer leurs probabilités.
Calculer l'espérance : Utiliser la linéarité de l'espérance si $X$ est une somme de variables simples.
Reconnaître une loi usuelle : Identifier si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , ou $X \sim \mathcal{G}(p)$ .

Exemples corrigés

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ .
Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , alors $E(X) = V(X) = \lambda$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\sum P(X=x_i) = 1$ .
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ lors du calcul de la variance.
Appliquer la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des épreuves.

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application définie sur un espace probabilisé $(\Omega, P)$ vers un ensemble fini ou dénombrable de $\mathbb{R}$.

Loi de probabilité : définie par $P(X=x_i) = p_i$ avec $\sum p_i = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la loi : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ et calculer leurs probabilités.
Calculer l'espérance : Utiliser la linéarité de l'espérance si $X$ est une somme de variables simples.
Reconnaître une loi usuelle : Identifier si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, ou $X \sim \mathcal{G}(p)$.

Exemples corrigés

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $E(X) = V(X) = \lambda$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\sum P(X=x_i) = 1$.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ lors du calcul de la variance.
Appliquer la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des épreuves.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires discrètes

1/4

Si $X \sim \mathcal{B}(10, 0,5)$ , quelle est la valeur de $E(X)$ ?

Si $X \sim \mathcal{B}(10, 0,5)$, quelle est la valeur de $E(X)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le support d'une variable aléatoire peut être infini ?

Oui, par exemple pour la loi de Poisson ou la loi géométrique, le support est $\mathbb{N}$ (infini dénombrable).

💡 À retenir : Une variable aléatoire discrète n'est pas forcément à valeurs dans un ensemble fini.

Oui, par exemple pour la loi de Poisson ou la loi géométrique, le support est $\mathbb{N}$ (infini dénombrable).

💡 À retenir : Une variable aléatoire discrète n'est pas forcément à valeurs dans un ensemble fini.

C'est quoi la différence entre l'espérance et la moyenne ?

L'espérance est la valeur théorique moyenne vers laquelle tend la moyenne des résultats d'un grand nombre de répétitions de l'expérience. La "moyenne" est un terme statistique appliqué à une série de données observées, tandis que l'espérance est une propriété intrinsèque de la loi de probabilité.

💡 À retenir : L'espérance est une valeur théorique, la moyenne est une valeur expérimentale.

Kifach n3ref wach nst3mel la loi binomiale wla la loi de Poisson ?

La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ s'utilise quand tu as un nombre fini $n$ d'épreuves indépendantes.
La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ s'utilise quand $n$ est très grand, $p$ très petit, et que $\lambda = np$ est constant.

💡 À retenir : Si $n \ge 50$ et $p \le 0,1$ , on privilégie Poisson.

La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ s'utilise quand tu as un nombre fini $n$ d'épreuves indépendantes.
La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ s'utilise quand $n$ est très grand, $p$ très petit, et que $\lambda = np$ est constant.

💡 À retenir : Si $n \ge 50$ et $p \le 0,1$, on privilégie Poisson.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, jamais. La variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités (qui sont positives). Si tu trouves une valeur négative, c'est qu'il y a une erreur de calcul dans $E(X^2)$ ou $E(X)$ .

💡 À retenir : $V(X) \ge 0$ toujours.

Chno hiya la condition bach n9olo bli X et Y sont indépendantes ?

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tout couple $(x, y)$ , on a : $P(X=x \cap Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y)$ .

💡 À retenir : L'indépendance est une condition forte, elle implique que la réalisation de l'une n'influence pas l'autre.

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tout couple $(x, y)$, on a : $P(X=x \cap Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y)$.

💡 À retenir : L'indépendance est une condition forte, elle implique que la réalisation de l'une n'influence pas l'autre.

Kifach n7seb l'espérance dyal la somme dyal 2 variables ?

Tu utilises la linéarité de l'espérance : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ . C'est vrai même si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

💡 À retenir : La linéarité est toujours vraie, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ .

Tu utilises la linéarité de l'espérance : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$. C'est vrai même si $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

💡 À retenir : La linéarité est toujours vraie, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.

Pourquoi on divise par n dans la moyenne expérimentale mais pas dans l'espérance ?

L'espérance est une moyenne pondérée par les probabilités. La moyenne expérimentale est une moyenne arithmétique où chaque résultat a le même poids $1/n$ .

💡 À retenir : L'espérance est la limite de la moyenne expérimentale quand $n$ tend vers l'infini.

L'espérance est une moyenne pondérée par les probabilités. La moyenne expérimentale est une moyenne arithmétique où chaque résultat a le même poids $1/n$.

💡 À retenir : L'espérance est la limite de la moyenne expérimentale quand $n$ tend vers l'infini.

Est-ce que E(aX + b) = aE(X) + b ?

Oui, c'est une propriété fondamentale de l'espérance appelée linéarité. Elle est très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : L'espérance est un opérateur linéaire.

C'est quoi la différence entre P(X=k) et P(X le k) ?

$P(X=k)$ est la probabilité que la variable prenne exactement la valeur $k$ . $P(X \le k)$ est la fonction de répartition, c'est la somme des probabilités pour toutes les valeurs inférieures ou égales à $k$ .

💡 À retenir : $P(X \le k) = \sum_{i \le k} P(X=x_i)$ .

$P(X=k)$ est la probabilité que la variable prenne exactement la valeur $k$. $P(X \le k)$ est la fonction de répartition, c'est la somme des probabilités pour toutes les valeurs inférieures ou égales à $k$.

💡 À retenir : $P(X \le k) = \sum_{i \le k} P(X=x_i)$.

Kifach n3ref wach la loi est géométrique ?

Une loi est géométrique si tu cherches le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

💡 À retenir : $X(\Omega) = \{1, 2, 3, ...\}$ et $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$ .

Une loi est géométrique si tu cherches le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

💡 À retenir : $X(\Omega) = {1, 2, 3, ...}$ et $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$.

Est-ce que la variance de aX est aV(X) ?

Non, $V(aX) = a^2 V(X)$ . C'est une erreur classique.

💡 À retenir : La variance est sensible au carré du coefficient multiplicateur.

Non, $V(aX) = a^2 V(X)$. C'est une erreur classique.

💡 À retenir : La variance est sensible au carré du coefficient multiplicateur.

Comment calculer E(X^2) rapidement ?

Il n'y a pas de formule magique, tu dois calculer $\sum x_i^2 P(X=x_i)$ . Si $X$ suit une loi usuelle, utilise les formules du cours.

💡 À retenir : $E(X^2)$ est le moment d'ordre 2.

Il n'y a pas de formule magique, tu dois calculer $\sum x_i^2 P(X=x_i)$. Si $X$ suit une loi usuelle, utilise les formules du cours.

💡 À retenir : $E(X^2)$ est le moment d'ordre 2.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un joueur lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Soit $X$ le nombre de lancers nécessaires.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer $P(X > 3)$ .

Exercice 2

Un joueur lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Soit $X$ le nombre de lancers nécessaires.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer $P(X > 3)$.

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Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 2$ .

Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$ .
Calculer $E(3X + 5)$ .

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 2$.

Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$.
Calculer $E(3X + 5)$.

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