Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant les axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre $0_E$, symétrique, distributivité).
Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si $0_E \in F$, et $\forall (u, v) \in F^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$.
Base : Une famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si $E$ possède une base de $n$ éléments, alors $\dim(E) = n$.
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier $0_E \in F$ (non vide), puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est une base :
Si $\text{card} = \dim(E)$, montrer que la famille est libre (ou génératrice).
Sinon, résoudre l'équation $\sum \lambda_i e_i = 0_E$ pour montrer que tous les $\lambda_i = 0$.
Calculer la dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou identifier une base canonique.
Exemples corrigés
Exemple 1 : $F = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 / x + 2y = 0 }$. C'est un SEV car $0+2(0)=0$ et pour tout $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, $\lambda(x_1, y_1) + \mu(x_2, y_2)$ vérifie l'équation.
Exemple 2 : La famille $((1, 0), (0, 1))$ est la base canonique de $\mathbb{R}^2$, sa dimension est 2.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser qu'une famille de vecteurs non nuls est forcément libre.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Quelle est la dimension de l'espace des matrices carrées $M_2(\mathbb{R})$ ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que l'ensemble des polynômes de degré exactement n est un SEV ?
Non. Le polynôme nul n'est pas de degré $n$ (il n'a pas de degré ou son degré est $-\infty$). De plus, la somme de deux polynômes de degré $n$ peut avoir un degré inférieur à $n$ (ex: $P = X^n + X$ et $Q = -X^n + 1$).
💡 À retenir : Seul l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ (noté $\mathbb{R}_n[X]$) est un SEV.
Kifach n7seb la dimension d'un sous-espace vectoriel ?
Cherche une famille génératrice de ton ensemble.
Élimine les vecteurs qui sont combinaisons linéaires des autres.
La famille restante est une base.
Le nombre de vecteurs dans cette base est la dimension.
💡 À retenir : La dimension est le nombre minimal de vecteurs nécessaires pour engendrer tout l'espace.
Est-ce qu'une famille de 3 vecteurs dans mathbb{R}^2 peut être libre ?
Non, c'est impossible. Dans un espace de dimension $n$, toute famille contenant plus de $n$ vecteurs est nécessairement liée. Ici, $3 > 2$.
💡 À retenir : Toute famille libre a un cardinal inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
Chno hiya "la famille libre" exactement ?
Une famille est libre si aucun vecteur ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres. Mathématiquement, si $\sum \lambda_i v_i = 0$, alors tous les $\lambda_i$ doivent être nuls.
💡 À retenir : "Libre" signifie qu'il n'y a pas de redondance dans la famille.
Kifach nbiyen bli wahed l'ensemble howa SEV ?
Montre que $0 \in F$.
Prends deux vecteurs $u, v \in F$ et deux scalaires $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Montre que $\alpha u + \beta v \in F$.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la condition suffisante et nécessaire.
Si j'ai une famille génératrice, est-ce que c'est une base ?
Pas forcément. Une base doit être à la fois génératrice ET libre. Si elle est génératrice mais liée, il faut enlever les vecteurs inutiles pour obtenir une base.
💡 À retenir : Une base est une famille génératrice minimale.
Est-ce que l'intersection de deux SEV est toujours un SEV ?
Oui, toujours. Si $F$ et $G$ sont des SEV, alors $F \cap G$ contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire.
💡 À retenir : L'intersection de SEV est un SEV, mais la réunion ne l'est généralement pas.
Est-ce que le vecteur nul est toujours dans un SEV ?
Oui, c'est la première condition obligatoire. Si $0 \notin F$, alors $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
💡 À retenir : $0_E$ est le "passeport" pour être un SEV.
Si dim(F) = dim(E), est-ce que F = E ?
Oui, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que les dimensions sont égales, alors $F$ est nécessairement égal à $E$.
💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale en dimension finie.
Est-ce que mathbb{R}^2 est un SEV de mathbb{R}^3 ?
Non, $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous-ensemble de $\mathbb{R}^3$. On peut dire qu'il est isomorphe à un SEV de $\mathbb{R}^3$ (le plan $z=0$), mais ce n'est pas le même ensemble.
💡 À retenir : Attention à la distinction entre inclusion et isomorphisme.
Comment montrer qu'une famille est liée ?
Il suffit de trouver une combinaison linéaire non nulle qui donne le vecteur nul, ou montrer qu'un vecteur est combinaison linéaire des autres.
💡 À retenir : Il suffit d'un seul contre-exemple pour prouver qu'une famille est liée.
Est-ce que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène est un SEV ?
Oui, c'est un exemple classique de SEV de $\mathbb{R}^n$. Si $AX = 0$ et $AY = 0$, alors $A(\alpha X + \beta Y) = \alpha(AX) + \beta(AY) = 0$.
💡 À retenir : Les solutions d'un système homogène forment toujours un SEV.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ l'espace des polynômes de degré $\le 2$. Soit $F = { P \in E / P(1) = 0 }$.
Un espace vectoriel (E,+,⋅) sur R est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant les axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre 0E, symétrique, distributivité).
Sous-espace vectoriel (SEV) :F⊂E est un SEV si 0E∈F, et ∀(u,v)∈F2,∀λ∈R,λu+v∈F.
Base : Une famille (e1,…,en) est une base de E si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si E possède une base de n éléments, alors dim(E)=n.
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier 0E∈F (non vide), puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est une base :
Si card=dim(E), montrer que la famille est libre (ou génératrice).
Sinon, résoudre l'équation ∑λiei=0E pour montrer que tous les λi=0.
Calculer la dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou identifier une base canonique.
Exemples corrigés
Exemple 1 :F={(x,y)∈R2/x+2y=0}. C'est un SEV car 0+2(0)=0 et pour tout λ,μ∈R, λ(x1,y1)+μ(x2,y2) vérifie l'équation.
Exemple 2 : La famille ((1,0),(0,1)) est la base canonique de R2, sa dimension est 2.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser qu'une famille de vecteurs non nuls est forcément libre.
Quelle est la dimension de l'espace des matrices carrées M2(R) ?
Non. Le polynôme nul n'est pas de degré n (il n'a pas de degré ou son degré est −∞). De plus, la somme de deux polynômes de degré n peut avoir un degré inférieur à n (ex: P=Xn+X et Q=−Xn+1).
💡 À retenir : Seul l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n (noté Rn[X]) est un SEV.
Non, c'est impossible. Dans un espace de dimension n, toute famille contenant plus de n vecteurs est nécessairement liée. Ici, 3>2.
💡 À retenir : Toute famille libre a un cardinal inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
Une famille est libre si aucun vecteur ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres. Mathématiquement, si ∑λivi=0, alors tous les λi doivent être nuls.
💡 À retenir : "Libre" signifie qu'il n'y a pas de redondance dans la famille.
Montre que 0∈F.
Prends deux vecteurs u,v∈F et deux scalaires α,β∈R.
Montre que αu+βv∈F.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la condition suffisante et nécessaire.
Oui, toujours. Si F et G sont des SEV, alors F∩G contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire.
💡 À retenir : L'intersection de SEV est un SEV, mais la réunion ne l'est généralement pas.
Oui, c'est la première condition obligatoire. Si 0∈/F, alors F n'est pas un sous-espace vectoriel.
💡 À retenir : 0E est le "passeport" pour être un SEV.
Oui, si F est un sous-espace vectoriel de E et que les dimensions sont égales, alors F est nécessairement égal à E.
💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale en dimension finie.
Non, R2 n'est pas un sous-ensemble de R3. On peut dire qu'il est isomorphe à un SEV de R3 (le plan z=0), mais ce n'est pas le même ensemble.
💡 À retenir : Attention à la distinction entre inclusion et isomorphisme.
Oui, c'est un exemple classique de SEV de Rn. Si AX=0 et AY=0, alors A(αX+βY)=α(AX)+β(AY)=0.
💡 À retenir : Les solutions d'un système homogène forment toujours un SEV.
Exercice 1
Soit E=R2[X] l'espace des polynômes de degré ≤2. Soit F={P∈E/P(1)=0}.
Montrer que F est un SEV de E.
Donner une base de F.
Exercice 2
Soit E=R3 et u1=(1,1,0),u2=(0,1,1),u3=(1,0,1).
Montrer que (u1,u2,u3) est une base de R3.