Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Dérivabilité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell \in \mathbb{R}$ . $\ell$ est le nombre dérivé noté $f'(a)$ .
Interprétation géométrique : La courbe admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(f+g)' = f'+g'$ , $(fg)' = f'g + fg'$ , $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$ , $(f \circ g)' = (f' \circ g) \times g'$ .
Théorème de Rolle : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $]a, b[$ et $f(a)=f(b)$ , alors $\exists c \in ]a, b[$ tel que $f'(c)=0$ .
Inégalité des accroissements finis (IAF) : Si $|f'| \leq M$ sur $I$ , alors $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité en un point : calculer la limite du taux d'accroissement.
Étudier la dérivabilité à gauche et à droite pour les points anguleux.
Utiliser le théorème de Rolle pour prouver l'existence d'une racine de la dérivée.
Appliquer la formule de Taylor-Young (à l'ordre 1) pour les approximations locales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-1|$ en $x_0=1$ . $f_d'(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $f_g'(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$ . $f_d' \neq f_g'$ , donc non dérivable en 1.
Exemple 2 : Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \ln(x^2+1)$ . $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confondre la dérivée de $f(g(x))$ avec $f'(x) \times g'(x)$ au lieu de $f'(g(x)) \times g'(x)$ .
Négliger de préciser l'intervalle où la fonction est dérivable.

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell \in \mathbb{R}$. $\ell$ est le nombre dérivé noté $f'(a)$.
Interprétation géométrique : La courbe admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(f+g)' = f'+g'$, $(fg)' = f'g + fg'$, $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$, $(f \circ g)' = (f' \circ g) \times g'$.
Théorème de Rolle : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et $f(a)=f(b)$, alors $\exists c \in ]a, b[$ tel que $f'(c)=0$.
Inégalité des accroissements finis (IAF) : Si $|f'| \leq M$ sur $I$, alors $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité en un point : calculer la limite du taux d'accroissement.
Étudier la dérivabilité à gauche et à droite pour les points anguleux.
Utiliser le théorème de Rolle pour prouver l'existence d'une racine de la dérivée.
Appliquer la formule de Taylor-Young (à l'ordre 1) pour les approximations locales.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-1|$ en $x_0=1$. $f_d'(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $f_g'(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$. $f_d' \neq f_g'$, donc non dérivable en 1.
Exemple 2 : Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = \ln(x^2+1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confondre la dérivée de $f(g(x))$ avec $f'(x) \times g'(x)$ au lieu de $f'(g(x)) \times g'(x)$.
Négliger de préciser l'intervalle où la fonction est dérivable.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivabilité

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Soit $f(x) = x^3$ . La valeur de $f'(1)$ est :

Soit $f(x) = x^3$. La valeur de $f'(1)$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction continue est toujours dérivable ?

Non. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 car les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes (-1 et 1).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité, mais Continuité $\nRightarrow$ Dérivabilité.

Kifach n3ref wach l'fonction 3ndha point anguleux ?

Khassek t-calculer l'limite dyal l'taux d'accroissement men l'yemen ( $f_d'$ ) et men l'yesser ( $f_g'$ ).
Ila l9iti $f_d'(a) \neq f_g'(a)$ et bjouj bihom des nombres réels, l'no9ta $a$ hiya point anguleux.

💡 À retenir : Point anguleux = $f_d'(a) \neq f_g'(a)$ avec $f_d', f_g' \in \mathbb{R}$ .

Khassek t-calculer l'limite dyal l'taux d'accroissement men l'yemen ($f_d'$) et men l'yesser ($f_g'$).
Ila l9iti $f_d'(a) \neq f_g'(a)$ et bjouj bihom des nombres réels, l'no9ta $a$ hiya point anguleux.

💡 À retenir : Point anguleux = $f_d'(a) \neq f_g'(a)$ avec $f_d', f_g' \in \mathbb{R}$.

C'est quoi le rôle du théorème de Rolle dans les exercices ?

Il sert principalement à démontrer l'existence d'au moins une solution à l'équation $f'(x)=0$ sur un intervalle ouvert $]a, b[$ , à condition que $f(a)=f(b)$ et que $f$ soit continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ .

💡 À retenir : Rolle = existence d'un point où la tangente est horizontale.

Il sert principalement à démontrer l'existence d'au moins une solution à l'équation $f'(x)=0$ sur un intervalle ouvert $]a, b[$, à condition que $f(a)=f(b)$ et que $f$ soit continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$.

💡 À retenir : Rolle = existence d'un point où la tangente est horizontale.

Chno hiya l'far9 bin l'dérivée et l'nombre dérivé ?

L'nombre dérivé $f'(a)$ est un nombre réel (la valeur de la pente en un point précis $a$ ).
L'dérivée $f'(x)$ est une fonction qui associe à chaque $x$ son nombre dérivé.

💡 À retenir : $f'(a)$ est l'image de $a$ par la fonction dérivée $f'$ .

L'nombre dérivé $f'(a)$ est un nombre réel (la valeur de la pente en un point précis $a$).
L'dérivée $f'(x)$ est une fonction qui associe à chaque $x$ son nombre dérivé.

💡 À retenir : $f'(a)$ est l'image de $a$ par la fonction dérivée $f'$.

Kifach n-appliquer l'IAF (Inégalité des Accroissements Finis) ?

Vérifier que $f$ est dérivable sur $[a, b]$ .
Trouver un majorant $M$ tel que $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$ .
Appliquer la formule : $|f(b)-f(a)| \leq M|b-a|$ .

💡 À retenir : L'IAF sert à majorer la variation d'une fonction sans connaître sa valeur exacte.

Vérifier que $f$ est dérivable sur $[a, b]$.
Trouver un majorant $M$ tel que $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$.
Appliquer la formule : $|f(b)-f(a)| \leq M|b-a|$.

💡 À retenir : L'IAF sert à majorer la variation d'une fonction sans connaître sa valeur exacte.

Si f'(a) = 0, est-ce que ça veut dire que f a un extremum en a ?

Pas forcément. $f'(a)=0$ signifie que la tangente est horizontale, mais ce n'est pas suffisant. Il faut que la dérivée change de signe au voisinage de $a$ pour avoir un extremum. Par exemple, $f(x)=x^3$ a $f'(0)=0$ mais n'a pas d'extremum en 0.

💡 À retenir : $f'(a)=0$ est une condition nécessaire, pas suffisante.

Comment justifier la dérivabilité d'une composée f circ g ?

Il faut que $g$ soit dérivable en $x_0$ et que $f$ soit dérivable en $g(x_0)$ . Si ces deux conditions sont remplies, alors $f \circ g$ est dérivable en $x_0$ et $(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \times g'(x_0)$ .

💡 À retenir : La chaîne de dérivabilité doit être complète.

Il faut que $g$ soit dérivable en $x_0$ et que $f$ soit dérivable en $g(x_0)$. Si ces deux conditions sont remplies, alors $f \circ g$ est dérivable en $x_0$ et $(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \times g'(x_0)$.

💡 À retenir : La chaîne de dérivabilité doit être complète.

Est-ce que je peux utiliser la règle de L'Hôpital au bac ?

Non, la règle de L'Hôpital n'est pas au programme officiel du baccalauréat marocain. Il faut utiliser les développements limités ou les taux d'accroissement.

💡 À retenir : Reste sur les méthodes du cours (taux d'accroissement, DL).

Wach l'dérivée dyal l'fonction constante hiya 0 ?

Oui, car le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{k-k}{x-a} = 0$ . Donc la limite est 0.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours nulle.

Oui, car le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{k-k}{x-a} = 0$. Donc la limite est 0.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours nulle.

Comment montrer qu'une fonction est C^1 sur un intervalle ?

Il faut montrer que $f$ est dérivable sur cet intervalle et que sa fonction dérivée $f'$ est continue sur ce même intervalle.

💡 À retenir : $C^1$ = dérivable + dérivée continue.

Il faut montrer que $f$ est dérivable sur cet intervalle et que sa fonction dérivée $f'$ est continue sur ce même intervalle.

💡 À retenir : $C^1$ = dérivable + dérivée continue.

Pourquoi on étudie la dérivabilité à droite et à gauche ?

Pour savoir si la courbe possède une tangente unique au point considéré. Si les deux dérivées latérales sont égales, la tangente existe. Sinon, on a un point anguleux ou une tangente verticale.

💡 À retenir : Les limites latérales permettent de caractériser la géométrie locale.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ . En dérivant les deux côtés par rapport à $x$ , on obtient $-f'(-x) = f'(x)$ , donc $f'(-x) = -f'(x)$ , ce qui prouve que $f'$ est impaire.

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

Oui. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$. En dérivant les deux côtés par rapport à $x$, on obtient $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'(-x) = -f'(x)$, ce qui prouve que $f'$ est impaire.

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ . Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$ , on a $|f'(x)| \leq 1$ . En déduire que $|f(x)-1| \leq x$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1}$. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $|f'(x)| \leq 1$. En déduire que $|f(x)-1| \leq x$.

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Exercice 2

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$ . Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c) = 1$ .

Exercice 2

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c) = 1$.

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Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x|x|$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 0$ .
Déterminer la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x|x|$.

Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 0$.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$.

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