Espaces probabilisés

1. C'est une famille de parties de $\Omega$ stable par complémentaire et par union dénombrable.
2. Elle permet de définir proprement la probabilité sur des ensembles complexes.

💡 À retenir : Dans le cadre discret, on prend souvent $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$.

1. C'est un axiome fondamental de la définition d'une probabilité.
2. Cela signifie que l'événement certain a une probabilité totale de 100%.

💡 À retenir : La probabilité est une mesure normalisée.

1. Tu calcules $P(A \cap B)$.
2. Tu calcules $P(A) \times P(B)$.
3. Tu compares les deux résultats.

💡 À retenir : S'ils sont égaux, ils sont indépendants.

1. Oui, à condition que les événements $A_i$ forment un système complet.
2. Si ce n'est pas un système complet, la formule est fausse.

💡 À retenir : Vérifie toujours la partition de l'univers avant de sommer.

1. Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$. Ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
2. Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. La réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

💡 À retenir : Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

1. Tu utilises la formule : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
2. Il faut impérativement que $P(B) > 0$.

💡 À retenir : $P(A|B)$ est la probabilité de $A$ "sachant que" $B$ est déjà réalisé.

1. L'univers ($\Omega$) est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience.
2. L'événement est une partie (sous-ensemble) de cet univers.

💡 À retenir : L'univers est l'événement certain, il contient tous les résultats.

1. C'est une formule qui permet d'inverser le conditionnement : $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}$.
2. On l'utilise souvent pour retrouver la cause d'un événement observé.

💡 À retenir : Elle relie la probabilité a posteriori à la probabilité a priori.

1. Non, seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).
2. Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de soustraire l'intersection si les événements ne sont pas disjoints.

1. Les événements doivent être deux à deux incompatibles.
2. Leur réunion doit être égale à l'univers $\Omega$.

💡 À retenir : Ils forment une partition de l'univers.

1. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
2. C'est utile quand le calcul direct de l'événement contraire est plus simple.

💡 À retenir : L'événement contraire est souvent plus facile à dénombrer.

1. Non, au contraire. S'ils sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
2. S'ils sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$.

💡 À retenir : Sauf cas triviaux, ils ne peuvent pas être les deux à la fois.