Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$ .
Opérations : Addition, multiplication et division (par $z \neq 0$ ) suivent les règles usuelles en remplaçant $i^2$ par $-1$ .
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ .
Formes :
- Algébrique : $z = a + ib$
- Trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$
- Exponentielle : $z = r e^{i\theta}$
Racines n-ièmes : Les solutions de $z^n = a$ sont $z_k = \sqrt[n]{|a|} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$ pour $k \in \{0, ..., n-1\}$ .

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle (calculer $r$ puis $\theta$ ).
Utiliser les propriétés du conjugué : $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ et $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ .
Linéarisation de $\cos^n \theta$ et $\sin^n \theta$ via les formules d'Euler.
Résolution d'équations du second degré $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta \in \mathbb{C}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Mettre $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 = -4$ . $z^2 = 4i^2 \implies z = 2i$ ou $z = -2i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\overline{z}$ (conjugué) avec $-z$ (opposé).
Ne pas vérifier la condition $z \neq 0$ avant de diviser.

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$.
Opérations : Addition, multiplication et division (par $z \neq 0$) suivent les règles usuelles en remplaçant $i^2$ par $-1$.
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$.
Formes :
- Algébrique : $z = a + ib$
- Trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$
- Exponentielle : $z = r e^{i\theta}$
Racines n-ièmes : Les solutions de $z^n = a$ sont $z_k = \sqrt[n]{|a|} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$ pour $k \in {0, ..., n-1}$.

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle (calculer $r$ puis $\theta$).
Utiliser les propriétés du conjugué : $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ et $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.
Linéarisation de $\cos^n \theta$ et $\sin^n \theta$ via les formules d'Euler.
Résolution d'équations du second degré $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta \in \mathbb{C}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Mettre $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 = -4$. $z^2 = 4i^2 \implies z = 2i$ ou $z = -2i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\overline{z}$ (conjugué) avec $-z$ (opposé).
Ne pas vérifier la condition $z \neq 0$ avant de diviser.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

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Le module de $z = 3 - 4i$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le module et l'argument ?

Le module $|z|$ représente la distance entre l'origine et le point d'affixe $z$ . C'est un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente l'angle orienté entre l'axe réel et le vecteur d'affixe $z$ .

💡 À retenir : Le module donne la "taille" (longueur), l'argument donne la "direction" (angle).

Le module $|z|$ représente la distance entre l'origine et le point d'affixe $z$. C'est un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente l'angle orienté entre l'axe réel et le vecteur d'affixe $z$.

💡 À retenir : Le module donne la "taille" (longueur), l'argument donne la "direction" (angle).

Kifach n7seb l'module dyal chi adad oqdi?

Ila kan $z = a + ib$ , l'module howa $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Ila kan $z$ f chkl $z_1 \times z_2$ , khdem b l'khassiya $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .
Ila kan $z$ f chkl fraction, khdem b $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ .

💡 À retenir : Dima bda b l'chkl l'jabri ila kan sah, wla khdem b l'khassiyat ila kan l't3bir m3aqad.

Ila kan $z = a + ib$, l'module howa $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Ila kan $z$ f chkl $z_1 \times z_2$, khdem b l'khassiya $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$.
Ila kan $z$ f chkl fraction, khdem b $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$.

💡 À retenir : Dima bda b l'chkl l'jabri ila kan sah, wla khdem b l'khassiyat ila kan l't3bir m3aqad.

Chno hiya l'fayda dyal l'chkl l'ossi f l'imti7an?

L'chkl l'ossi $re^{i\theta}$ sahhel bzaf l'7isab dyal l'qowa (puissances) $z^n = r^n e^{in\theta}$ .
Sahhel l'7isab dyal l'jdaa (produit) et l'qisma (division).
Sahhel l't3bir 3la l'dawaran (rotations).

💡 À retenir : L'chkl l'ossi howa a7san chkl l'tbsit l'3amaliyat l'hisabiya.

L'chkl l'ossi $re^{i\theta}$ sahhel bzaf l'7isab dyal l'qowa (puissances) $z^n = r^n e^{in\theta}$.
Sahhel l'7isab dyal l'jdaa (produit) et l'qisma (division).
Sahhel l't3bir 3la l'dawaran (rotations).

💡 À retenir : L'chkl l'ossi howa a7san chkl l'tbsit l'3amaliyat l'hisabiya.

Comment calculer une racine carrée d'un nombre complexe z = a + ib ?

On pose $Z = x + iy$ tel que $Z^2 = z$ .
On écrit le système : $x^2 - y^2 = a$ , $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ (module) et $2xy = b$ .
On résout pour trouver $x$ et $y$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le module pour obtenir une équation simple sur $x^2+y^2$ .

On pose $Z = x + iy$ tel que $Z^2 = z$.
On écrit le système : $x^2 - y^2 = a$, $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ (module) et $2xy = b$.
On résout pour trouver $x$ et $y$.

💡 À retenir : Utilise toujours le module pour obtenir une équation simple sur $x^2+y^2$.

Est-ce que l'argument est unique ?

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$ ) est aussi un argument.

💡 À retenir : On cherche souvent l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi un argument.

💡 À retenir : On cherche souvent l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Kifach n3ref wach noqta f l'plan katnmi l'mihwar l'haqiqi wla l'takhayoli?

Ila kan l'partie takhayoliya $b=0$ , noqta katnmi l'mihwar l'haqiqi.
Ila kan l'partie haqiqiya $a=0$ , noqta katnmi l'mihwar l'takhayoli.

💡 À retenir : $z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0$ et $z \in i\mathbb{R} \iff \text{Re}(z) = 0$ .

Ila kan l'partie takhayoliya $b=0$, noqta katnmi l'mihwar l'haqiqi.
Ila kan l'partie haqiqiya $a=0$, noqta katnmi l'mihwar l'takhayoli.

💡 À retenir : $z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0$ et $z \in i\mathbb{R} \iff \text{Re}(z) = 0$.

Quelle est la relation entre le conjugué et le module ?

La relation fondamentale est $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ .

💡 À retenir : C'est la formule la plus utile pour éliminer les complexes au dénominateur.

La relation fondamentale est $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$.

💡 À retenir : C'est la formule la plus utile pour éliminer les complexes au dénominateur.

Comment interpréter géométriquement |z - a| = r ?

Cela représente le cercle de centre $A$ (d'affixe $a$ ) et de rayon $r$ .

💡 À retenir : $|z - a|$ est la distance entre le point $M(z)$ et le point $A(a)$ .

Cela représente le cercle de centre $A$ (d'affixe $a$) et de rayon $r$.

💡 À retenir : $|z - a|$ est la distance entre le point $M(z)$ et le point $A(a)$.

Est-ce que (z1 + z2)^n = z1^n + z2^n ?

Non, c'est une erreur grave. Il faut utiliser la formule du binôme de Newton.

💡 À retenir : Seule la multiplication respecte la puissance : $(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n$ .

Non, c'est une erreur grave. Il faut utiliser la formule du binôme de Newton.

💡 À retenir : Seule la multiplication respecte la puissance : $(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n$.

Comment montrer que trois points sont alignés ?

Il faut montrer que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.

Il faut montrer que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.

Comment montrer qu'un triangle est rectangle ?

Il faut montrer que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur (c'est-à-dire sa partie réelle est nulle).

💡 À retenir : Un imaginaire pur signifie que l'angle entre les deux vecteurs est $\pi/2$ ou $-\pi/2$ .

Il faut montrer que le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur (c'est-à-dire sa partie réelle est nulle).

💡 À retenir : Un imaginaire pur signifie que l'angle entre les deux vecteurs est $\pi/2$ ou $-\pi/2$.

Qu'est-ce qu'une rotation en nombres complexes ?

Une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

💡 À retenir : C'est la formule de base pour les transformations géométriques dans le plan complexe.

Une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

💡 À retenir : C'est la formule de base pour les transformations géométriques dans le plan complexe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$ .

Déterminer le module et un argument de $z$ .
Écrire $z$ sous forme exponentielle.
Calculer $z^6$ .

Exercice 1

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Déterminer le module et un argument de $z$.
Écrire $z$ sous forme exponentielle.
Calculer $z^6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2z + 4 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $A, B, C$ trois points d'affixes respectives $a=1, b=i, c=-1$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Exercice 3

Soient $A, B, C$ trois points d'affixes respectives $a=1, b=i, c=-1$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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