Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — ECS

Développements limités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un développement limité (DL) d'ordre $n$ d'une fonction $f$ au voisinage de $0$ est une écriture de la forme : $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + o(x^n)$ où les $a_i$ sont des réels et $o(x^n)$ est une fonction telle que $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$ .

Méthodes à maîtriser

DL usuels : Apprendre par cœur les DL de $\exp(x)$ , $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ .
Somme et Produit : On additionne ou multiplie les polynômes en tronquant les puissances supérieures à $n$ .
Composition : Si $u(x) \to 0$ , on utilise $f(u(x))$ en remplaçant $x$ par $u(x)$ dans le DL de $f$ .
Quotient : Pour $f/g$ , on écrit $f = (P + o(x^n)) \cdot \frac{1}{g}$ et on utilise le DL de $1/(1+u)$ .

Exemples corrigés

DL de $\sin(x)$ à l'ordre 3 en 0 : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ .
Produit : Pour $(1+x)\sin(x)$ à l'ordre 2 : $(1+x)(x + o(x^2)) = x + x^2 + o(x^2)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $o(x^n)$ à la fin de l'expression.
Ne pas vérifier si $u(x) \to 0$ avant de composer les DL.
Garder des termes de degré supérieur à $n$ dans le résultat final.

L'essentiel du cours

Méthodes à maîtriser

DL usuels : Apprendre par cœur les DL de $\exp(x)$, $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$.
Somme et Produit : On additionne ou multiplie les polynômes en tronquant les puissances supérieures à $n$.
Composition : Si $u(x) \to 0$, on utilise $f(u(x))$ en remplaçant $x$ par $u(x)$ dans le DL de $f$.
Quotient : Pour $f/g$, on écrit $f = (P + o(x^n)) \cdot \frac{1}{g}$ et on utilise le DL de $1/(1+u)$.

Exemples corrigés

DL de $\sin(x)$ à l'ordre 3 en 0 : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.
Produit : Pour $(1+x)\sin(x)$ à l'ordre 2 : $(1+x)(x + o(x^2)) = x + x^2 + o(x^2)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $o(x^n)$ à la fin de l'expression.
Ne pas vérifier si $u(x) \to 0$ avant de composer les DL.
Garder des termes de degré supérieur à $n$ dans le résultat final.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Développements limités

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Quel est le DL de $\exp(x)$ à l'ordre 2 en 0 ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb DL d'une fonction f(x) f voisinage de a (a ≠ 0) ?

On pose $h = x - a$ , donc $x = a + h$ .
Quand $x \to a$ , alors $h \to 0$ .
On remplace $x$ par $a+h$ dans la fonction et on développe en puissances de $h$ jusqu'à l'ordre voulu.

💡 À retenir : Toujours se ramener au voisinage de 0 par un changement de variable.

On pose $h = x - a$, donc $x = a + h$.
Quand $x \to a$, alors $h \to 0$.
On remplace $x$ par $a+h$ dans la fonction et on développe en puissances de $h$ jusqu'à l'ordre voulu.

💡 À retenir : Toujours se ramener au voisinage de 0 par un changement de variable.

Est-ce qu'on peut toujours calculer le DL d'une fonction ?

Non, la fonction doit être suffisamment dérivable au point considéré. Si la fonction n'est pas dérivable, le DL n'existe pas.

💡 À retenir : L'existence d'un DL d'ordre $n$ implique la continuité et la dérivabilité jusqu'à l'ordre $n$ .

Non, la fonction doit être suffisamment dérivable au point considéré. Si la fonction n'est pas dérivable, le DL n'existe pas.

💡 À retenir : L'existence d'un DL d'ordre $n$ implique la continuité et la dérivabilité jusqu'à l'ordre $n$.

Chno hiya "o(x^n)" exactement ?

C'est une notation pour désigner une fonction "négligeable" devant $x^n$ quand $x$ est proche de 0. Cela signifie que le rapport $\frac{f(x)}{x^n}$ tend vers 0.

💡 À retenir : $o(x^n)$ représente les termes de degré supérieur à $n$ qu'on ignore.

C'est une notation pour désigner une fonction "négligeable" devant $x^n$ quand $x$ est proche de 0. Cela signifie que le rapport $\frac{f(x)}{x^n}$ tend vers 0.

💡 À retenir : $o(x^n)$ représente les termes de degré supérieur à $n$ qu'on ignore.

Comment choisir l'ordre du DL ?

L'ordre dépend de la limite à calculer ou de la précision demandée. Si tu as un dénominateur en $x^2$ , il faut souvent aller jusqu'à l'ordre 2 ou 3 au numérateur.

💡 À retenir : L'ordre doit être suffisant pour ne pas obtenir une forme indéterminée nulle.

L'ordre dépend de la limite à calculer ou de la précision demandée. Si tu as un dénominateur en $x^2$, il faut souvent aller jusqu'à l'ordre 2 ou 3 au numérateur.

💡 À retenir : L'ordre doit être suffisant pour ne pas obtenir une forme indéterminée nulle.

Kifach n7seb DL de ln(1+x) ?

On utilise la formule : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$ .

💡 À retenir : Les signes alternent et le dénominateur correspond à la puissance.

On utilise la formule : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$.

💡 À retenir : Les signes alternent et le dénominateur correspond à la puissance.

Peut-on diviser deux DL ?

Oui, en posant la division euclidienne des polynômes, ou en multipliant par le DL de l'inverse $1/(1+u)$ .

💡 À retenir : La division est l'opération la plus délicate, vérifie toujours tes calculs.

Oui, en posant la division euclidienne des polynômes, ou en multipliant par le DL de l'inverse $1/(1+u)$.

💡 À retenir : La division est l'opération la plus délicate, vérifie toujours tes calculs.

Quelle est la différence entre DL et série de Taylor ?

La série de Taylor est une somme infinie. Le DL est une troncature de cette série à un ordre $n$ donné.

💡 À retenir : Le DL est une approximation locale, la série est une représentation globale.

La série de Taylor est une somme infinie. Le DL est une troncature de cette série à un ordre $n$ donné.

💡 À retenir : Le DL est une approximation locale, la série est une représentation globale.

Est-ce que le DL est unique ?

Oui, pour une fonction donnée, au voisinage d'un point donné et à un ordre donné, le DL est unique.

💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale qui permet d'identifier les coefficients.

Comment faire si la fonction contient une racine carrée ?

On utilise le DL de $(1+u)^\alpha$ avec $\alpha = 1/2$ . On factorise pour faire apparaître $(1+u)$ .

💡 À retenir : $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$ .

On utilise le DL de $(1+u)^\alpha$ avec $\alpha = 1/2$. On factorise pour faire apparaître $(1+u)$.

💡 À retenir : $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$.

Est-ce qu'on peut dériver un DL ?

Oui, si $f(x) = P(x) + o(x^n)$ , alors $f'(x) = P'(x) + o(x^{n-1})$ .

💡 À retenir : L'ordre diminue de 1 lors de la dérivation.

Oui, si $f(x) = P(x) + o(x^n)$, alors $f'(x) = P'(x) + o(x^{n-1})$.

💡 À retenir : L'ordre diminue de 1 lors de la dérivation.

Pourquoi on ne fait pas de DL au voisinage de l'infini ?

Le programme se concentre sur le voisinage de 0. Pour l'infini, on pose $X = 1/x$ et on étudie le voisinage de 0.

💡 À retenir : Le changement de variable $X=1/x$ est la clé pour l'infini.

Le programme se concentre sur le voisinage de 0. Pour l'infini, on pose $X = 1/x$ et on étudie le voisinage de 0.

💡 À retenir : Le changement de variable $X=1/x$ est la clé pour l'infini.

Est-ce que le DL aide à trouver l'équation de la tangente ?

Oui, le DL d'ordre 1 est $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a)$ , ce qui est exactement l'équation de la tangente.

💡 À retenir : Le DL d'ordre 1 est la meilleure approximation affine.

Oui, le DL d'ordre 1 est $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a)$, ce qui est exactement l'équation de la tangente.

💡 À retenir : Le DL d'ordre 1 est la meilleure approximation affine.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer le développement limité de $f(x) = \ln(1+x+x^2)$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Exercice 1

Déterminer le développement limité de $f(x) = \ln(1+x+x^2)$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer le DL de $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$ à l'ordre 2 au voisinage de 0.

Exercice 3

Déterminer le DL de $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$ à l'ordre 2 au voisinage de 0.

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