Physique · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Oscillations libres dans un circuit RLC série

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation différentielle : Pour un circuit RLC série, la loi d'additivité des tensions donne : $u_L + u_R + u_C = 0$ . En remplaçant par les expressions, on obtient : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (RC) \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ .
Régimes d'amortissement :
- Pseudo-périodique : $R$ est faible, l'amplitude diminue au cours du temps.
- Apériodique : $R$ est très grande, pas d'oscillations.
- Critique : Transition entre les deux, retour à l'équilibre le plus rapide.
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ (électrique) et $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ (magnétique). L'énergie totale $E_T = E_e + E_m$ diminue à cause de l'effet Joule ( $P = R i^2$ ).

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle à partir de la loi d'additivité des tensions.
Identifier graphiquement la pseudo-période $T$ sur un oscillogramme.
Calculer la perte d'énergie entre deux instants : $\Delta E = E_T(t_2) - E_T(t_1)$ .

Exemples corrigés

Calcul de $T$ : Si on mesure 4 périodes sur 20 ms, alors $T = 20/4 = 5$ ms.
Énergie : À $t=0$ , $u_C = E$ et $i=0$ , donc $E_T = \frac{1}{2} C E^2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ avec la pseudo-période $T$ .
Négliger le signe moins dans la dérivée de l'énergie totale.

L'essentiel du cours

Équation différentielle : Pour un circuit RLC série, la loi d'additivité des tensions donne : $u_L + u_R + u_C = 0$. En remplaçant par les expressions, on obtient : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (RC) \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.
Régimes d'amortissement :
- Pseudo-périodique : $R$ est faible, l'amplitude diminue au cours du temps.
- Apériodique : $R$ est très grande, pas d'oscillations.
- Critique : Transition entre les deux, retour à l'équilibre le plus rapide.
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ (électrique) et $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ (magnétique). L'énergie totale $E_T = E_e + E_m$ diminue à cause de l'effet Joule ($P = R i^2$).

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle à partir de la loi d'additivité des tensions.
Identifier graphiquement la pseudo-période $T$ sur un oscillogramme.
Calculer la perte d'énergie entre deux instants : $\Delta E = E_T(t_2) - E_T(t_1)$.

Exemples corrigés

Calcul de $T$ : Si on mesure 4 périodes sur 20 ms, alors $T = 20/4 = 5$ ms.
Énergie : À $t=0$, $u_C = E$ et $i=0$, donc $E_T = \frac{1}{2} C E^2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ avec la pseudo-période $T$.
Négliger le signe moins dans la dérivée de l'énergie totale.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Oscillations libres dans un circuit RLC série

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La période propre d'un circuit LC dépend de :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce que la pseudo-période ?

La pseudo-période $T$ est la durée séparant deux passages consécutifs de la tension $u_C$ par un maximum. Elle est légèrement supérieure à la période propre $T_0$ du circuit LC idéal.

💡 À retenir : $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ quand l'amortissement est faible.

La pseudo-période $T$ est la durée séparant deux passages consécutifs de la tension $u_C$ par un maximum. Elle est légèrement supérieure à la période propre $T_0$ du circuit LC idéal.

💡 À retenir : $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ quand l'amortissement est faible.

Kifach n3ref wach régime apériodique wla pseudo-périodique ?

Chouf l'mounhana dyal $u_C(t)$ .
Ila kan l'mounhana kayt-oscilla (kaytla3 o kaynzel), rah régime pseudo-périodique.
Ila kan l'mounhana kaytla3 l'qima dyalou o kaynzel l'zero bla may-oscilla, rah régime apériodique.

💡 À retenir : L'oscillation = pseudo-périodique. Pas d'oscillation = apériodique ou critique.

Chouf l'mounhana dyal $u_C(t)$.
Ila kan l'mounhana kayt-oscilla (kaytla3 o kaynzel), rah régime pseudo-périodique.
Ila kan l'mounhana kaytla3 l'qima dyalou o kaynzel l'zero bla may-oscilla, rah régime apériodique.

💡 À retenir : L'oscillation = pseudo-périodique. Pas d'oscillation = apériodique ou critique.

Est-ce que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC ?

Non, l'énergie totale ne se conserve pas. Elle diminue au cours du temps car une partie est dissipée par effet Joule dans la résistance du circuit ( $R + r$ ).

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est la cause de l'amortissement des oscillations.

Non, l'énergie totale ne se conserve pas. Elle diminue au cours du temps car une partie est dissipée par effet Joule dans la résistance du circuit ($R + r$).

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est la cause de l'amortissement des oscillations.

Chno hiya l'relation bin uC o i ?

La relation est $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ . C'est la dérivée de la charge par rapport au temps.

💡 À retenir : Si $u_C$ est constant, alors $i = 0$ .

La relation est $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$. C'est la dérivée de la charge par rapport au temps.

💡 À retenir : Si $u_C$ est constant, alors $i = 0$.

Comment calculer la valeur de L à partir d'un graphe ?

Mesurer la pseudo-période $T$ sur le graphe.
Utiliser la formule $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ .
Isoler $L$ : $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

Mesurer la pseudo-période $T$ sur le graphe.
Utiliser la formule $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$.
Isoler $L$ : $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

Kifach n7seb l'energie li t-f9dat f l'circuit ?

7seb l'energie totale f l'instant $t_1$ : $E_1 = \frac{1}{2} C u_C(t_1)^2 + \frac{1}{2} L i(t_1)^2$ .
7seb l'energie totale f l'instant $t_2$ : $E_2 = \frac{1}{2} C u_C(t_2)^2 + \frac{1}{2} L i(t_2)^2$ .
Dir l'farq : $\Delta E = E_2 - E_1$ .

💡 À retenir : $\Delta E$ doit être négatif car l'énergie diminue.

7seb l'energie totale f l'instant $t_1$ : $E_1 = \frac{1}{2} C u_C(t_1)^2 + \frac{1}{2} L i(t_1)^2$.
7seb l'energie totale f l'instant $t_2$ : $E_2 = \frac{1}{2} C u_C(t_2)^2 + \frac{1}{2} L i(t_2)^2$.
Dir l'farq : $\Delta E = E_2 - E_1$.

💡 À retenir : $\Delta E$ doit être négatif car l'énergie diminue.

Pourquoi dit-on "oscillations libres" ?

On dit "libres" car le circuit n'est soumis à aucune tension extérieure après la charge initiale du condensateur. Le système évolue seul selon ses caractéristiques propres ( $L, C, R$ ).

💡 À retenir : Pas de générateur branché pendant la phase d'oscillation.

On dit "libres" car le circuit n'est soumis à aucune tension extérieure après la charge initiale du condensateur. Le système évolue seul selon ses caractéristiques propres ($L, C, R$).

💡 À retenir : Pas de générateur branché pendant la phase d'oscillation.

Est-ce que la période propre dépend de la résistance ?

Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ dépend uniquement de l'inductance $L$ et de la capacité $C$ . La résistance influence seulement l'amortissement.

💡 À retenir : $R$ ne change pas $T_0$ , elle change la forme de la courbe.

Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ dépend uniquement de l'inductance $L$ et de la capacité $C$. La résistance influence seulement l'amortissement.

💡 À retenir : $R$ ne change pas $T_0$, elle change la forme de la courbe.

Qu'est-ce que le régime critique ?

C'est le régime limite où le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans aucune oscillation. Il se produit pour une valeur particulière de la résistance appelée résistance critique $R_c$ .

💡 À retenir : C'est le passage entre le régime pseudo-périodique et apériodique.

Comment varie l'énergie électrique dans le circuit ?

L'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ varie périodiquement. Elle est maximale quand $|u_C|$ est maximal et nulle quand $u_C = 0$ .

💡 À retenir : Elle se transforme alternativement en énergie magnétique dans la bobine.

L'énergie électrique $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ varie périodiquement. Elle est maximale quand $|u_C|$ est maximal et nulle quand $u_C = 0$.

💡 À retenir : Elle se transforme alternativement en énergie magnétique dans la bobine.

Peut-on avoir uC négatif ?

Oui, dans un circuit RLC, le condensateur se décharge puis se charge avec une polarité inversée lors des oscillations.

💡 À retenir : Le signe de $u_C$ change à chaque demi-période.

Oui, dans un circuit RLC, le condensateur se décharge puis se charge avec une polarité inversée lors des oscillations.

💡 À retenir : Le signe de $u_C$ change à chaque demi-période.

Quelle est l'unité de l'inductance L ?

L'unité de l'inductance est le Henry (H).

💡 À retenir : $1 \text{ H} = 1 \text{ V} \cdot \text{s} \cdot \text{A}^{-1}$ .

L'unité de l'inductance est le Henry (H).

💡 À retenir : $1 \text{ H} = 1 \text{ V} \cdot \text{s} \cdot \text{A}^{-1}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ est chargé sous une tension $E = 6 V$ . On le branche aux bornes d'une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale du circuit.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ est chargé sous une tension $E = 6 V$. On le branche aux bornes d'une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale du circuit.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Dans un circuit RLC réel, on mesure une pseudo-période $T = 0,1 s$ . La capacité est $C = 1 mF$ . Calculer $L$ en supposant $T \approx T_0$ .

Exercice 2

Dans un circuit RLC réel, on mesure une pseudo-période $T = 0,1 s$. La capacité est $C = 1 mF$. Calculer $L$ en supposant $T \approx T_0$.

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Exercice 3

On étudie l'évolution de l'énergie dans un circuit RLC. À $t=0$ , $E_T = 10 mJ$ . À $t = 2T$ , l'énergie est $E_T = 8 mJ$ . Calculer l'énergie dissipée par effet Joule.

Exercice 3

On étudie l'évolution de l'énergie dans un circuit RLC. À $t=0$, $E_T = 10 mJ$. À $t = 2T$, l'énergie est $E_T = 8 mJ$. Calculer l'énergie dissipée par effet Joule.

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