Physique · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA Meknès (agriculture)

Dipôle RL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$ ( $\Omega$ ).
Tension aux bornes : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ . Si la bobine est idéale ( $r=0$ ), alors $u_L = L \frac{di}{dt}$ .
Équation différentielle (Établissement du courant) : $E = L \frac{di}{dt} + (R+r)i \implies \frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L}i = \frac{E}{L}$ .
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$ .
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .

Méthodes à maîtriser

Détermination graphique de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine ou l'asymptote horizontale ( $63\%$ de $I_{max}$ ).
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[L/R] = [T]$ .
Calcul de la dérivée : Savoir dériver $i(t)$ pour trouver $u_L$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Circuit avec $L=0.5$ H, $R=100 \Omega$ , $E=10$ V. $I_{max} = E/R = 0.1$ A.
Exemple 2 : Si $i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ , alors $\frac{di}{dt} = \frac{I_0}{\tau} e^{-t/\tau}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ dans le calcul de $\tau$ ou de $I_{max}$ .
Confondre $u_L$ (tension aux bornes de la bobine) et $u_R$ (tension aux bornes du conducteur ohmique).
Négliger le signe moins dans l'équation différentielle lors de la rupture du courant.

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$ ($\Omega$).
Tension aux bornes : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$. Si la bobine est idéale ($r=0$), alors $u_L = L \frac{di}{dt}$.
Équation différentielle (Établissement du courant) : $E = L \frac{di}{dt} + (R+r)i \implies \frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L}i = \frac{E}{L}$.
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$.
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.

Méthodes à maîtriser

Détermination graphique de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine ou l'asymptote horizontale ($63%$ de $I_{max}$).
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[L/R] = [T]$.
Calcul de la dérivée : Savoir dériver $i(t)$ pour trouver $u_L$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Circuit avec $L=0.5$ H, $R=100 \Omega$, $E=10$ V. $I_{max} = E/R = 0.1$ A.
Exemple 2 : Si $i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$, alors $\frac{di}{dt} = \frac{I_0}{\tau} e^{-t/\tau}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ dans le calcul de $\tau$ ou de $I_{max}$.
Confondre $u_L$ (tension aux bornes de la bobine) et $u_R$ (tension aux bornes du conducteur ohmique).
Négliger le signe moins dans l'équation différentielle lors de la rupture du courant.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dipôle RL

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L'unité de la constante de temps $\tau$ est :

❓ Questions fréquentes

Pourquoi le courant ne s'établit-il pas instantanément ?

À cause de la force électromotrice d'auto-induction créée par la bobine qui s'oppose à la variation du flux magnétique.

💡 À retenir : La bobine "freine" l'augmentation du courant.

kifach n7seb l'energie mkhbya f l'bobine ?

On utilise la formule $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ . Il faut que $L$ soit en Henry et $i$ en Ampère pour obtenir $E_m$ en Joules.

💡 À retenir : L'énergie est maximale quand le courant est maximal.

On utilise la formule $E_m = \frac{1}{2} L i^2$. Il faut que $L$ soit en Henry et $i$ en Ampère pour obtenir $E_m$ en Joules.

💡 À retenir : L'énergie est maximale quand le courant est maximal.

Quelle est la valeur de uL en régime permanent ?

En régime permanent, $i = I_{max} = \text{constante}$ , donc $\frac{di}{dt} = 0$ . Alors $u_L = r \cdot I_{max}$ .

💡 À retenir : Si la bobine est idéale, $u_L = 0$ V en régime permanent.

En régime permanent, $i = I_{max} = \text{constante}$, donc $\frac{di}{dt} = 0$. Alors $u_L = r \cdot I_{max}$.

💡 À retenir : Si la bobine est idéale, $u_L = 0$ V en régime permanent.

Comment varie tau si on augmente L ?

Puisque $\tau = \frac{L}{R+r}$ , si $L$ augmente, $\tau$ augmente. Le régime transitoire sera plus long.

💡 À retenir : Plus l'inductance est grande, plus le courant s'établit lentement.

Puisque $\tau = \frac{L}{R+r}$, si $L$ augmente, $\tau$ augmente. Le régime transitoire sera plus long.

💡 À retenir : Plus l'inductance est grande, plus le courant s'établit lentement.

Est-ce que la tension uL peut être négative ?

Oui, lors de la rupture du courant, $di/dt$ est négatif, donc $u_L$ peut devenir négative.

💡 À retenir : C'est ce qui crée parfois des étincelles à l'ouverture d'un interrupteur.

Oui, lors de la rupture du courant, $di/dt$ est négatif, donc $u_L$ peut devenir négative.

💡 À retenir : C'est ce qui crée parfois des étincelles à l'ouverture d'un interrupteur.

Quelle est la relation entre uL et uR en série ?

D'après la loi d'additivité des tensions : $E = u_L + u_R$ .

💡 À retenir : $u_R = R \cdot i$ .

D'après la loi d'additivité des tensions : $E = u_L + u_R$.

💡 À retenir : $u_R = R \cdot i$.

Peut-on mesurer r avec un ohmmètre ?

Oui, en débranchant la bobine du circuit, on peut mesurer sa résistance interne avec un ohmmètre.

💡 À retenir : C'est une mesure directe hors circuit.

Est-ce que tau dépend de E ?

Non, $\tau$ dépend uniquement des caractéristiques du circuit ( $L, R, r$ ).

💡 À retenir : $E$ change la valeur finale $I_{max}$ , mais pas la rapidité d'établissement.

Non, $\tau$ dépend uniquement des caractéristiques du circuit ($L, R, r$).

💡 À retenir : $E$ change la valeur finale $I_{max}$, mais pas la rapidité d'établissement.

Qu'est-ce que l'auto-induction ?

C'est le phénomène par lequel une bobine s'oppose à toute variation de l'intensité du courant qui la traverse. Lorsqu'on ferme le circuit, elle retarde l'établissement du courant ; lorsqu'on l'ouvre, elle tente de maintenir le courant.

💡 À retenir : La bobine est un dipôle "inertiel" pour le courant électrique.

kifach n7seb tau ghir mn l'mbyana ?

Tracer la tangente à l'origine de la courbe $i(t)$ .
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ( $I_{max}$ ) donne l'abscisse $\tau$ .
Sinon, chercher l'instant $t$ où $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la valeur maximale.

Tracer la tangente à l'origine de la courbe $i(t)$.
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ($I_{max}$) donne l'abscisse $\tau$.
Sinon, chercher l'instant $t$ où $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la valeur maximale.

Est-ce que uL est toujours égale à L cdot di/dt ?

Non, seulement si la bobine est idéale ( $r=0$ ). Si elle possède une résistance interne $r$ , alors $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme $r \cdot i$ dans les exercices de bac.

Non, seulement si la bobine est idéale ($r=0$). Si elle possède une résistance interne $r$, alors $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme $r \cdot i$ dans les exercices de bac.

chno hiya l'unité dyal L ?

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté H.

💡 À retenir : 1 mH = $10^{-3}$ H.

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté H.

💡 À retenir : 1 mH = $10^{-3}$ H.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit comporte en série : un générateur de tension $E=6$ V, une bobine ( $L=0.2$ H, $r=10 \Omega$ ) et un conducteur ohmique ( $R=20 \Omega$ ).

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ .
Déterminer la valeur de $I_{max}$ en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$ .

Exercice 1

Un circuit comporte en série : un générateur de tension $E=6$ V, une bobine ($L=0.2$ H, $r=10 \Omega$) et un conducteur ohmique ($R=20 \Omega$).

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$.
Déterminer la valeur de $I_{max}$ en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On réalise l'étude énergétique d'un circuit RL.

Exprimer l'énergie magnétique $E_m$ en fonction du temps lors de l'établissement du courant.
Calculer $E_m$ à $t = \tau$ . (Données : $L=0.5$ H, $I_{max}=0.4$ A).

Exercice 2

On réalise l'étude énergétique d'un circuit RL.

Exprimer l'énergie magnétique $E_m$ en fonction du temps lors de l'établissement du courant.
Calculer $E_m$ à $t = \tau$. (Données : $L=0.5$ H, $I_{max}=0.4$ A).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une bobine est parcourue par un courant $i(t) = 0.5(1 - e^{-200t})$ .

Déterminer l'inductance $L$ sachant que la résistance totale du circuit est $50 \Omega$ .
Calculer la tension aux bornes de la bobine à $t=0$ (supposer $r=0$ ).

Exercice 3

Une bobine est parcourue par un courant $i(t) = 0.5(1 - e^{-200t})$.

Déterminer l'inductance $L$ sachant que la résistance totale du circuit est $50 \Omega$.
Calculer la tension aux bornes de la bobine à $t=0$ (supposer $r=0$).

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