Physique · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA Meknès (agriculture)

Décroissance radioactive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ( $\alpha, \beta^-, \beta^+$ ) et souvent d'un rayonnement $\gamma$ .
Lois de conservation (Soddy) : Au cours d'une désintégration, il y a conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$ .
Loi de décroissance : Le nombre de noyaux radioactifs restants à l'instant $t$ est : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .
Activité : $a(t) = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$ . Unité : Becquerel (Bq).
Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation nucléaire en appliquant Soddy.
Tracer ou exploiter la courbe $N(t)$ ou $\ln(N(t))$ .
Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ et inversement.
Déterminer l'âge d'un échantillon : $t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Désintégration $\beta^-$ du carbone 14 : $^{14}_6C \rightarrow ^{14}_7N + ^0_{-1}e$ .
Exemple 2 : Calculer $N(t)$ pour $t = 2t_{1/2}$ : $N(2t_{1/2}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot \frac{2\ln 2}{\lambda}} = N_0 \cdot e^{-2\ln 2} = N_0 \cdot e^{\ln(1/4)} = \frac{N_0}{4}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité de $\lambda$ (s⁻¹) qui doit être l'inverse de l'unité de $t$ .
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux formés/désintégrés).
Se tromper dans le calcul de l'exponentielle sur la calculatrice.

L'essentiel du cours

Définition : La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ($\alpha, \beta^-, \beta^+$) et souvent d'un rayonnement $\gamma$.
Lois de conservation (Soddy) : Au cours d'une désintégration, il y a conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$.
Loi de décroissance : Le nombre de noyaux radioactifs restants à l'instant $t$ est : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
Activité : $a(t) = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$. Unité : Becquerel (Bq).
Demi-vie ($t_{1/2}$) : Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation nucléaire en appliquant Soddy.
Tracer ou exploiter la courbe $N(t)$ ou $\ln(N(t))$.
Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ et inversement.
Déterminer l'âge d'un échantillon : $t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Désintégration $\beta^-$ du carbone 14 : $^{14}_6C \rightarrow ^{14}7N + ^0{-1}e$.
Exemple 2 : Calculer $N(t)$ pour $t = 2t_{1/2}$ : $N(2t_{1/2}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot \frac{2\ln 2}{\lambda}} = N_0 \cdot e^{-2\ln 2} = N_0 \cdot e^{\ln(1/4)} = \frac{N_0}{4}$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité de $\lambda$ (s⁻¹) qui doit être l'inverse de l'unité de $t$.
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux formés/désintégrés).
Se tromper dans le calcul de l'exponentielle sur la calculatrice.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Décroissance radioactive

1/4

La constante radioactive $\lambda$ s'exprime en :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le noyau fils est toujours radioactif ?

Pas forcément. Il peut être stable ou radioactif (famille radioactive). Cela dépend de la nature du noyau.

💡 À retenir : La désintégration s'arrête quand le noyau devient stable.

Quelle est l'unité de l'activité a(t) ?

L'unité est le Becquerel (Bq), qui correspond à une désintégration par seconde (s⁻¹).

💡 À retenir : 1 Bq = 1 désintégration/seconde.

Est-ce que lambda change avec le temps ?

Non, $\lambda$ est une constante caractéristique du noyau radioactif. Elle est indépendante du temps.

💡 À retenir : $\lambda$ est propre à chaque isotope.

Non, $\lambda$ est une constante caractéristique du noyau radioactif. Elle est indépendante du temps.

💡 À retenir : $\lambda$ est propre à chaque isotope.

Comment savoir si une particule est alpha ou beta ?

$\alpha$ est un noyau d'hélium $^4_2He$ .
$\beta^-$ est un électron $^0_{-1}e$ .
$\beta^+$ est un positron $^0_{+1}e$ .

💡 À retenir : Regardez les valeurs de $A$ et $Z$ dans l'équation.

$\alpha$ est un noyau d'hélium $^4_2He$.
$\beta^-$ est un électron $^0_{-1}e$.
$\beta^+$ est un positron $^0_{+1}e$.

💡 À retenir : Regardez les valeurs de $A$ et $Z$ dans l'équation.

Est-ce que le nombre de noyaux N(t) peut devenir nul ?

Mathématiquement, $N(t)$ tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini, mais il ne s'annule jamais strictement.

💡 À retenir : Théoriquement, il reste toujours une infime fraction.

Mathématiquement, $N(t)$ tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini, mais il ne s'annule jamais strictement.

💡 À retenir : Théoriquement, il reste toujours une infime fraction.

C'est quoi la différence entre N(t) et a(t) ?

$N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant $t$ .
$a(t)$ est l'activité, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.
Elles sont liées par $a(t) = \lambda \cdot N(t)$ .

💡 À retenir : $a(t)$ est la dérivée temporelle (au signe près) de $N(t)$ .

$N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant $t$.
$a(t)$ est l'activité, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.
Elles sont liées par $a(t) = \lambda \cdot N(t)$.

💡 À retenir : $a(t)$ est la dérivée temporelle (au signe près) de $N(t)$.

Chno hiya l'farq bin beta^- et beta^+ ?

$\beta^-$ est l'émission d'un électron ( $^0_{-1}e$ ) : un neutron se transforme en proton.
$\beta^+$ est l'émission d'un positron ( $^0_{+1}e$ ) : un proton se transforme en neutron.

💡 À retenir : $\beta^-$ augmente $Z$ de 1, $\beta^+$ diminue $Z$ de 1.

$\beta^-$ est l'émission d'un électron ($^0_{-1}e$) : un neutron se transforme en proton.
$\beta^+$ est l'émission d'un positron ($^0_{+1}e$) : un proton se transforme en neutron.

💡 À retenir : $\beta^-$ augmente $Z$ de 1, $\beta^+$ diminue $Z$ de 1.

Est-ce que la masse totale se conserve lors d'une désintégration ?

Non, la masse des produits est toujours inférieure à la masse des réactifs. Ce défaut de masse est converti en énergie selon $E = \Delta m \cdot c^2$ .

💡 À retenir : La masse ne se conserve pas, mais le nombre de nucléons si.

Non, la masse des produits est toujours inférieure à la masse des réactifs. Ce défaut de masse est converti en énergie selon $E = \Delta m \cdot c^2$.

💡 À retenir : La masse ne se conserve pas, mais le nombre de nucléons si.

Kifach n7seb l'age d'un échantillon ?

Utilisez la loi $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .
Divisez par $N_0$ : $\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$ .
Appliquez le logarithme : $\ln(\frac{N(t)}{N_0}) = -\lambda t$ .
$t = -\frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N(t)}{N_0})$ .

💡 À retenir : $t = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N_0}{N(t)})$ .

Utilisez la loi $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
Divisez par $N_0$ : $\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$.
Appliquez le logarithme : $\ln(\frac{N(t)}{N_0}) = -\lambda t$.
$t = -\frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N(t)}{N_0})$.

💡 À retenir : $t = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N_0}{N(t)})$.

Pourquoi on utilise ln(2) dans la formule de t{1/2} ?

Parce que par définition, à $t = t_{1/2}$ , $N(t) = N_0/2$ . Donc $N_0/2 = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}$ , ce qui donne $1/2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$ . En prenant le ln, on obtient $-\ln(2) = -\lambda t_{1/2}$ .

💡 À retenir : C'est une conséquence mathématique de la décroissance exponentielle.

Parce que par définition, à $t = t_{1/2}$, $N(t) = N_0/2$. Donc $N_0/2 = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}$, ce qui donne $1/2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$. En prenant le ln, on obtient $-\ln(2) = -\lambda t_{1/2}$.

💡 À retenir : C'est une conséquence mathématique de la décroissance exponentielle.

Est-ce que la radioactivité dépend de la température ou de la pression ?

Non, la radioactivité est un phénomène purement nucléaire et aléatoire. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique de l'élément.

💡 À retenir : La radioactivité est indépendante des facteurs externes.

Kifach n7seb lambda ila 3tani t{1/2} f l'exercice ?

Utilisez la relation $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .
Isolez $\lambda$ : $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ .
Attention : si $t_{1/2}$ est en années ou jours, convertissez-le en secondes pour avoir $\lambda$ en $s^{-1}$ .

💡 À retenir : $\lambda$ est toujours en $s^{-1}$ si le temps est en secondes.

Utilisez la relation $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.
Isolez $\lambda$ : $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$.
Attention : si $t_{1/2}$ est en années ou jours, convertissez-le en secondes pour avoir $\lambda$ en $s^{-1}$.

💡 À retenir : $\lambda$ est toujours en $s^{-1}$ si le temps est en secondes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Le noyau de Polonium 210 ( $^{210}_{84}Po$ ) est radioactif $\alpha$ .

Écrire l'équation de désintégration sachant que le noyau fils est le Plomb ( $Pb$ ).
La demi-vie du Polonium 210 est $t_{1/2} = 138$ jours. Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $s^{-1}$ .
Un échantillon contient $N_0 = 10^{15}$ noyaux à $t=0$ . Calculer le nombre de noyaux restants à $t = 276$ jours.

Exercice 1

Le noyau de Polonium 210 ($^{210}_{84}Po$) est radioactif $\alpha$.

Écrire l'équation de désintégration sachant que le noyau fils est le Plomb ($Pb$).
La demi-vie du Polonium 210 est $t_{1/2} = 138$ jours. Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $s^{-1}$.
Un échantillon contient $N_0 = 10^{15}$ noyaux à $t=0$. Calculer le nombre de noyaux restants à $t = 276$ jours.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Physique pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Physique

Ondes mécaniques progressives Ondes mécaniques progressives périodiques Propagation d'une onde lumineuse Noyaux, masse et énergie Dipôle RC Dipôle RL Oscillations libres dans un circuit RLC série Ondes électromagnétiques Lois de Newton Applications des lois de Newton (Chute verticale, Mouvements plans)Travail et énergie mécanique Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)Aspect énergétique des oscillations mécaniques Étude des systèmes chimiques (Évolution spontanée et sens d'évolution)Transformations associées à des réactions acide-base Transformations associées à des réactions d'oxydoréduction Évolution temporelle des transformations chimiques (Cinétique)Contrôle de l'évolution des systèmes chimiques (Estérification et hydrolyse)Contrôle de l'évolution des systèmes chimiques (Réactions acide-base)