Physique · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Cinématique du point

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le vecteur position est défini par $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$ . Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$ . Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}$ . Dans la base de Frenet $(\vec{u}, \vec{n})$ , on a : $\vec{a} = a_t \vec{u} + a_n \vec{n}$ avec $a_t = \frac{dv}{dt}$ et $a_n = \frac{v^2}{\rho}$ .

Méthodes à maîtriser

Passage aux coordonnées : Savoir projeter le vecteur accélération sur les axes cartésiens.
Base de Frenet : Identifier $a_t$ et $a_n$ pour caractériser le mouvement (accéléré, uniforme, circulaire).
Intégration : Retrouver $\vec{v}(t)$ à partir de $\vec{a}(t)$ en utilisant les conditions initiales.

Exemples corrigés

Exemple : Mouvement rectiligne uniformément varié. Si $a = cste$ , alors $v(t) = at + v_0$ et $x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de dériver les vecteurs unitaires en coordonnées polaires.
Confondre la norme du vecteur accélération avec la somme des composantes.
Négliger les conditions initiales lors de l'intégration.

L'essentiel du cours

Le vecteur position est défini par $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$. Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}$. Dans la base de Frenet $(\vec{u}, \vec{n})$, on a : $\vec{a} = a_t \vec{u} + a_n \vec{n}$ avec $a_t = \frac{dv}{dt}$ et $a_n = \frac{v^2}{\rho}$.

Méthodes à maîtriser

Passage aux coordonnées : Savoir projeter le vecteur accélération sur les axes cartésiens.
Base de Frenet : Identifier $a_t$ et $a_n$ pour caractériser le mouvement (accéléré, uniforme, circulaire).
Intégration : Retrouver $\vec{v}(t)$ à partir de $\vec{a}(t)$ en utilisant les conditions initiales.

Exemples corrigés

Exemple : Mouvement rectiligne uniformément varié. Si $a = cste$, alors $v(t) = at + v_0$ et $x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de dériver les vecteurs unitaires en coordonnées polaires.
Confondre la norme du vecteur accélération avec la somme des composantes.
Négliger les conditions initiales lors de l'intégration.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Cinématique du point

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Dans un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur accélération est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la vitesse est toujours la dérivée de la distance parcourue ?

Non, la vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. La dérivée de la distance parcourue (abscisse curviligne $s$ ) par rapport au temps donne la valeur algébrique de la vitesse $v = \frac{ds}{dt}$ .

💡 À retenir : La vitesse est un vecteur, alors que la dérivée de l'abscisse curviligne est un scalaire.

Non, la vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. La dérivée de la distance parcourue (abscisse curviligne $s$) par rapport au temps donne la valeur algébrique de la vitesse $v = \frac{ds}{dt}$.

💡 À retenir : La vitesse est un vecteur, alors que la dérivée de l'abscisse curviligne est un scalaire.

kifach n7seb l'accélération f l'espace ila 3tani les coordonnées cartésiennes ?

Tu dérives chaque coordonnée $x(t), y(t), z(t)$ deux fois par rapport au temps.
Tu obtiens $a_x = \ddot{x}$ , $a_y = \ddot{y}$ , $a_z = \ddot{z}$ .
Le vecteur est $\vec{a} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$ .

💡 À retenir : L'accélération est la dérivée seconde du vecteur position.

Tu dérives chaque coordonnée $x(t), y(t), z(t)$ deux fois par rapport au temps.
Tu obtiens $a_x = \ddot{x}$, $a_y = \ddot{y}$, $a_z = \ddot{z}$.
Le vecteur est $\vec{a} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$.

💡 À retenir : L'accélération est la dérivée seconde du vecteur position.

Est-ce que l'accélération normale est nulle dans un mouvement rectiligne ?

Oui, car dans un mouvement rectiligne, le rayon de courbure $\rho$ est infini. Comme $a_n = \frac{v^2}{\rho}$ , alors $a_n = 0$ .

💡 À retenir : Mouvement rectiligne $\iff a_n = 0$ .

Oui, car dans un mouvement rectiligne, le rayon de courbure $\rho$ est infini. Comme $a_n = \frac{v^2}{\rho}$, alors $a_n = 0$.

💡 À retenir : Mouvement rectiligne $\iff a_n = 0$.

chhal hiya l'accélération f mouvement circulaire uniforme ?

Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse $v$ est constante, donc $a_t = \frac{dv}{dt} = 0$ . Il ne reste que l'accélération normale $a_n = \frac{v^2}{R}$ .

💡 À retenir : $a = a_n = \frac{v^2}{R}$ (dirigée vers le centre).

Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse $v$ est constante, donc $a_t = \frac{dv}{dt} = 0$. Il ne reste que l'accélération normale $a_n = \frac{v^2}{R}$.

💡 À retenir : $a = a_n = \frac{v^2}{R}$ (dirigée vers le centre).

Comment choisir entre base cartésienne et polaire ?

On choisit la base cartésienne pour les mouvements rectilignes ou paraboliques. On choisit la base polaire pour les mouvements circulaires ou à force centrale.

💡 À retenir : Utilise la base qui simplifie l'expression de $\vec{OM}$ .

On choisit la base cartésienne pour les mouvements rectilignes ou paraboliques. On choisit la base polaire pour les mouvements circulaires ou à force centrale.

💡 À retenir : Utilise la base qui simplifie l'expression de $\vec{OM}$.

wach l'accélération normale katkon dima 3amoudiya 3la ssor3a ?

Oui, par définition, $\vec{a}_n$ est portée par le vecteur normal $\vec{n}$ qui est perpendiculaire au vecteur tangent $\vec{u}$ (qui porte la vitesse).

💡 À retenir : $\vec{a}_n \perp \vec{v}$ .

Oui, par définition, $\vec{a}_n$ est portée par le vecteur normal $\vec{n}$ qui est perpendiculaire au vecteur tangent $\vec{u}$ (qui porte la vitesse).

💡 À retenir : $\vec{a}_n \perp \vec{v}$.

Peut-on avoir une accélération nulle et une vitesse non nulle ?

Oui, c'est le cas du mouvement rectiligne uniforme. Si $\vec{a} = \vec{0}$ , alors $\vec{v} = \text{constante}$ .

💡 À retenir : $\vec{a} = \vec{0} \implies$ mouvement uniforme.

Oui, c'est le cas du mouvement rectiligne uniforme. Si $\vec{a} = \vec{0}$, alors $\vec{v} = \text{constante}$.

💡 À retenir : $\vec{a} = \vec{0} \implies$ mouvement uniforme.

kifach n7seb l'accélération tangentielle at ?

Il suffit de calculer la dérivée de la norme de la vitesse par rapport au temps : $a_t = \frac{dv}{dt}$ .

💡 À retenir : $a_t$ mesure la variation de la valeur de la vitesse.

Il suffit de calculer la dérivée de la norme de la vitesse par rapport au temps : $a_t = \frac{dv}{dt}$.

💡 À retenir : $a_t$ mesure la variation de la valeur de la vitesse.

Le vecteur accélération est-il toujours tangent à la trajectoire ?

Non, il n'est tangent que si le mouvement est rectiligne. Dans les autres cas, il possède une composante normale.

💡 À retenir : Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, pas l'accélération.

Est-ce que le rayon de courbure est constant dans un mouvement quelconque ?

Non, il n'est constant que si le mouvement est circulaire. Dans un mouvement quelconque, $\rho$ dépend de la position.

💡 À retenir : $\rho$ est lié à la courbure de la trajectoire.

Non, il n'est constant que si le mouvement est circulaire. Dans un mouvement quelconque, $\rho$ dépend de la position.

💡 À retenir : $\rho$ est lié à la courbure de la trajectoire.

wach l'accélération normale kat3temed 3la lwa9t ?

Oui, car $a_n = \frac{v(t)^2}{\rho}$ . Si la vitesse change au cours du temps, alors $a_n$ change aussi.

💡 À retenir : $a_n$ dépend de la vitesse instantanée.

Oui, car $a_n = \frac{v(t)^2}{\rho}$. Si la vitesse change au cours du temps, alors $a_n$ change aussi.

💡 À retenir : $a_n$ dépend de la vitesse instantanée.

Quelle est la dimension de l'accélération ?

L'accélération est une variation de vitesse par unité de temps, donc sa dimension est $L \cdot T^{-2}$ . Son unité SI est le $m \cdot s^{-2}$ .

💡 À retenir : $a = [L][T]^{-2}$ .

L'accélération est une variation de vitesse par unité de temps, donc sa dimension est $L \cdot T^{-2}$. Son unité SI est le $m \cdot s^{-2}$.

💡 À retenir : $a = [L][T]^{-2}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un point matériel $M$ se déplace dans un plan selon les équations horaires : $x(t) = 2t$ et $y(t) = 4t^2$ (unités SI).

Déterminer le vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ .
Déterminer le vecteur accélération $\vec{a}(t)$ .
Quelle est la nature de la trajectoire ?

Exercice 1

Un point matériel $M$ se déplace dans un plan selon les équations horaires : $x(t) = 2t$ et $y(t) = 4t^2$ (unités SI).

Déterminer le vecteur vitesse $\vec{v}(t)$.
Déterminer le vecteur accélération $\vec{a}(t)$.
Quelle est la nature de la trajectoire ?

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Exercice 2

Un point $M$ décrit un cercle de rayon $R = 0,5 \, m$ avec une vitesse $v(t) = 2t$ . Calculer l'accélération à $t = 1 \, s$ .

Exercice 2

Un point $M$ décrit un cercle de rayon $R = 0,5 , m$ avec une vitesse $v(t) = 2t$. Calculer l'accélération à $t = 1 , s$.

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Exercice 3

Un mobile est animé d'un mouvement circulaire de rayon $R=1m$ . Son accélération tangentielle est constante $a_t = 2 m/s^2$ . Sachant qu'il part du repos, déterminer sa vitesse à $t=2s$ .

Exercice 3

Un mobile est animé d'un mouvement circulaire de rayon $R=1m$. Son accélération tangentielle est constante $a_t = 2 m/s^2$. Sachant qu'il part du repos, déterminer sa vitesse à $t=2s$.

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