Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Développements limités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le développement limité (DL) d'une fonction $f$ au voisinage de $0$ à l'ordre $n$ est l'écriture : $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + o(x^n)$ où $o(x^n)$ est le reste tel que $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$ . Les DL usuels à connaître par cœur (au voisinage de 0) :

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1})$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k})$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots + o(x^n)$

Méthodes à maîtriser

Somme et produit : On additionne les parties polynomiales et on garde le reste de plus petit ordre. Pour le produit, on multiplie et on tronque à l'ordre voulu.
Composition : Pour $f(g(x))$ , on remplace $x$ par le DL de $g(x)$ dans celui de $f$ . Attention : $g(x)$ doit tendre vers 0.
Division : Pour $\frac{f(x)}{g(x)}$ , on pose une division euclidienne suivant les puissances croissantes.
Changement de variable : Si on cherche un DL au voisinage de $a$ , on pose $h = x-a$ et on cherche le DL en $h$ au voisinage de $0$ .

Exemples corrigés

DL de $\sin(x)$ à l'ordre 3 en 0 : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ .
DL de $e^{2x}$ à l'ordre 2 en 0 : $e^{2x} = 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ à la fin.
Ne pas vérifier si $g(x) \to 0$ avant de composer les DL.
Confondre l'ordre du DL avec la puissance du dernier terme.
Faire des calculs inutiles en gardant des termes de degré supérieur à $n$ .

L'essentiel du cours

Le développement limité (DL) d'une fonction $f$ au voisinage de $0$ à l'ordre $n$ est l'écriture : $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + o(x^n)$ où $o(x^n)$ est le reste tel que $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$. Les DL usuels à connaître par cœur (au voisinage de 0) :

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1})$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k})$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots + o(x^n)$

Méthodes à maîtriser

Somme et produit : On additionne les parties polynomiales et on garde le reste de plus petit ordre. Pour le produit, on multiplie et on tronque à l'ordre voulu.
Composition : Pour $f(g(x))$, on remplace $x$ par le DL de $g(x)$ dans celui de $f$. Attention : $g(x)$ doit tendre vers 0.
Division : Pour $\frac{f(x)}{g(x)}$, on pose une division euclidienne suivant les puissances croissantes.
Changement de variable : Si on cherche un DL au voisinage de $a$, on pose $h = x-a$ et on cherche le DL en $h$ au voisinage de $0$.

Exemples corrigés

DL de $\sin(x)$ à l'ordre 3 en 0 : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.
DL de $e^{2x}$ à l'ordre 2 en 0 : $e^{2x} = 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ à la fin.
Ne pas vérifier si $g(x) \to 0$ avant de composer les DL.
Confondre l'ordre du DL avec la puissance du dernier terme.
Faire des calculs inutiles en gardant des termes de degré supérieur à $n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Développements limités

1/4

Quel est le DL de $e^x$ à l'ordre 2 en 0 ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un DL et un équivalent ?

Un équivalent est une approximation au premier ordre (le terme dominant). Un DL est une approximation beaucoup plus précise, car il donne plusieurs termes (jusqu'à l'ordre $n$ ).

Équivalent : $f(x) \sim a_k x^k$ .
DL : $f(x) = a_k x^k + a_{k+1} x^{k+1} + \dots + o(x^n)$ .

💡 À retenir : Le DL est un outil plus puissant qui permet de lever des indéterminations complexes.

Un équivalent est une approximation au premier ordre (le terme dominant). Un DL est une approximation beaucoup plus précise, car il donne plusieurs termes (jusqu'à l'ordre $n$).

Équivalent : $f(x) \sim a_k x^k$.
DL : $f(x) = a_k x^k + a_{k+1} x^{k+1} + \dots + o(x^n)$.

💡 À retenir : Le DL est un outil plus puissant qui permet de lever des indéterminations complexes.

Kifach n3ref l'ordre li khassni n7bes fih ?

L'ordre dépend de ce que tu cherches :

Si c'est pour une limite, regarde le degré du dénominateur ou la puissance du terme qui pose problème.
Si on te demande un DL à l'ordre $n$ , tu dois aller jusqu'à $x^n$ .
Si tu fais un produit, l'ordre final est le minimum des ordres des deux fonctions.

💡 À retenir : Vise toujours l'ordre qui permet d'éliminer l'indétermination sans faire de calculs inutiles.

L'ordre dépend de ce que tu cherches :

Si c'est pour une limite, regarde le degré du dénominateur ou la puissance du terme qui pose problème.
Si on te demande un DL à l'ordre $n$, tu dois aller jusqu'à $x^n$.
Si tu fais un produit, l'ordre final est le minimum des ordres des deux fonctions.

💡 À retenir : Vise toujours l'ordre qui permet d'éliminer l'indétermination sans faire de calculs inutiles.

Est-ce qu'on peut faire un DL d'une fonction qui n'est pas dérivable ?

Non. Pour qu'une fonction admette un DL à l'ordre $n$ en $a$ , elle doit être $n$ fois dérivable en $a$ . C'est une condition nécessaire issue du théorème de Taylor-Young.

💡 À retenir : Si la fonction n'est pas assez régulière, le DL n'existe pas.

Non. Pour qu'une fonction admette un DL à l'ordre $n$ en $a$, elle doit être $n$ fois dérivable en $a$. C'est une condition nécessaire issue du théorème de Taylor-Young.

💡 À retenir : Si la fonction n'est pas assez régulière, le DL n'existe pas.

Chno hiya l'utilité dyal DL f l'examen ?

Le DL sert principalement à :

Calculer des limites difficiles (forme $0/0$ ou $\infty/\infty$ ).
Étudier la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente ou une asymptote.
Trouver des équivalents précis.

💡 À retenir : C'est l'arme fatale pour les limites où la règle de L'Hôpital échoue.

Le DL sert principalement à :

Calculer des limites difficiles (forme $0/0$ ou $\infty/\infty$).
Étudier la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente ou une asymptote.
Trouver des équivalents précis.

💡 À retenir : C'est l'arme fatale pour les limites où la règle de L'Hôpital échoue.

Comment gérer le reste o(x^n) dans les calculs ?

Considère $o(x^n)$ comme une "poubelle" :

$o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$ .
$x^k \cdot o(x^n) = o(x^{n+k})$ .
Si tu as $o(x^n) + o(x^m)$ avec $n < m$ , le résultat est $o(x^n)$ .

💡 À retenir : On ne garde que le reste de l'ordre le plus petit dans une somme.

Considère $o(x^n)$ comme une "poubelle" :

$o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$.
$x^k \cdot o(x^n) = o(x^{n+k})$.
Si tu as $o(x^n) + o(x^m)$ avec $n < m$, le résultat est $o(x^n)$.

💡 À retenir : On ne garde que le reste de l'ordre le plus petit dans une somme.

Kifach n7seb DL dyal tan(x) ?

Tu peux utiliser la division euclidienne de $\sin(x)$ par $\cos(x)$ :

Écris le DL de $\sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$ .
Écris le DL de $\cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^3)$ .
Effectue la division $\frac{x - x^3/6}{1 - x^2/2}$ en suivant les puissances croissantes.

💡 À retenir : $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ .

Tu peux utiliser la division euclidienne de $\sin(x)$ par $\cos(x)$ :

Écris le DL de $\sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$.
Écris le DL de $\cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^3)$.
Effectue la division $\frac{x - x^3/6}{1 - x^2/2}$ en suivant les puissances croissantes.

💡 À retenir : $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.

Est-ce que le DL est unique ?

Oui, le développement limité d'une fonction en un point, s'il existe, est unique. C'est une conséquence directe de la formule de Taylor-Young.

💡 À retenir : Si tu trouves deux polynômes différents pour le même DL, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

Pourquoi on dit "au voisinage de 0" ?

Parce que les formules usuelles (Taylor-Maclaurin) sont centrées en 0. C'est là que les calculs sont les plus simples. Pour un autre point $a$ , on se ramène toujours à 0 par le changement de variable $u = x-a$ .

💡 À retenir : Le voisinage de 0 est la base de tous les DL.

Parce que les formules usuelles (Taylor-Maclaurin) sont centrées en 0. C'est là que les calculs sont les plus simples. Pour un autre point $a$, on se ramène toujours à 0 par le changement de variable $u = x-a$.

💡 À retenir : Le voisinage de 0 est la base de tous les DL.

Est-ce que je dois apprendre les DL des fonctions hyperboliques ?

Ce n'est pas obligatoire, car tu peux les retrouver facilement :

$\text{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ .
$\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ .
Remplace $e^x$ et $e^{-x}$ par leurs DL et simplifie.

💡 À retenir : Utilise les relations avec l'exponentielle pour gagner du temps.

Ce n'est pas obligatoire, car tu peux les retrouver facilement :

$\text{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
$\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
Remplace $e^x$ et $e^{-x}$ par leurs DL et simplifie.

💡 À retenir : Utilise les relations avec l'exponentielle pour gagner du temps.

Chno l'far9 bin DL et série de Taylor ?

La série de Taylor est une somme infinie (si elle converge). Le DL est une approximation polynomiale finie à l'ordre $n$ . Le DL est en fait la somme partielle de la série de Taylor.

💡 À retenir : Le DL est une version "tronquée" de la série de Taylor.

La série de Taylor est une somme infinie (si elle converge). Le DL est une approximation polynomiale finie à l'ordre $n$. Le DL est en fait la somme partielle de la série de Taylor.

💡 À retenir : Le DL est une version "tronquée" de la série de Taylor.

Si j'ai o(x^2) dans un calcul et que je multiplie par x, ça devient quoi ?

Ça devient $o(x^3)$ . En général, $x^k \cdot o(x^n) = o(x^{n+k})$ . C'est une règle fondamentale pour ne pas perdre de précision.

💡 À retenir : Multiplier par $x$ augmente l'ordre du reste.

Ça devient $o(x^3)$. En général, $x^k \cdot o(x^n) = o(x^{n+k})$. C'est une règle fondamentale pour ne pas perdre de précision.

💡 À retenir : Multiplier par $x$ augmente l'ordre du reste.

Est-ce que le DL peut m'aider pour les asymptotes ?

Oui, tout à fait. Si $f(x) = ax + b + c/x + o(1/x)$ quand $x \to \infty$ , alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : Le DL en l'infini est très utile pour étudier les branches infinies.

Oui, tout à fait. Si $f(x) = ax + b + c/x + o(1/x)$ quand $x \to \infty$, alors la droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : Le DL en l'infini est très utile pour étudier les branches infinies.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer le développement limité de $f(x) = \ln(1 + \sin(x))$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Exercice 1

Calculer le développement limité de $f(x) = \ln(1 + \sin(x))$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

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Exercice 3

Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ .

Exercice 3

Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \frac{1}{\cos(x)}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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