Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \times q$ . Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.
Convergence : Une suite convergente a une limite finie $L$ . Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utilisation des théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Suites de type $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et la suite converge vers $L$ , alors $f(L) = L$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Initialisation : $u_0 \geq 1$ (donné). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3 \implies \sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Exemple 2 : Limite de $u_n = \frac{2^n}{3^n+1}$ . On factorise par $3^n$ : $u_n = \frac{(2/3)^n}{1+(1/3)^n} \to 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (une suite peut être bornée sans converger, ex: $(-1)^n$ ).
Appliquer la formule de la somme sans vérifier si la suite est arithmétique ou géométrique.

L'essentiel du cours

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \times q$. Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.
Convergence : Une suite convergente a une limite finie $L$. Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utilisation des théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Suites de type $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et la suite converge vers $L$, alors $f(L) = L$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$. Initialisation : $u_0 \geq 1$ (donné). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3 \implies \sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Exemple 2 : Limite de $u_n = \frac{2^n}{3^n+1}$. On factorise par $3^n$ : $u_n = \frac{(2/3)^n}{1+(1/3)^n} \to 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (une suite peut être bornée sans converger, ex: $(-1)^n$).
Appliquer la formule de la somme sans vérifier si la suite est arithmétique ou géométrique.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Que faire si u{n+1} = f(un) et on demande la limite ?

Vérifie que la suite est convergente (monotone et bornée).
Résous l'équation $f(L) = L$ .
La limite est la solution de cette équation.

💡 À retenir : La fonction $f$ doit être continue.

Vérifie que la suite est convergente (monotone et bornée).
Résous l'équation $f(L) = L$.
La limite est la solution de cette équation.

💡 À retenir : La fonction $f$ doit être continue.

Comment montrer qu'une suite est croissante ?

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Étudie le signe du résultat.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Si les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$.
Étudie le signe du résultat.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Si les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

kifach n7seb l'7ad l'3am dyal suite arithmétique ?

Identifie le premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et la raison $r$ .
Utilise la formule : $u_n = u_0 + n \times r$ .
Si la suite commence à $u_1$ , utilise $u_n = u_1 + (n-1)r$ .

💡 À retenir : La formule générale est $u_n = u_p + (n-p)r$ .

Identifie le premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et la raison $r$.
Utilise la formule : $u_n = u_0 + n \times r$.
Si la suite commence à $u_1$, utilise $u_n = u_1 + (n-1)r$.

💡 À retenir : La formule générale est $u_n = u_p + (n-p)r$.

Est-ce qu'une suite convergente est toujours bornée ?

Oui, toute suite convergente est nécessairement bornée. En revanche, la réciproque est fausse (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais diverge).

💡 À retenir : La convergence implique le caractère borné.

Oui, toute suite convergente est nécessairement bornée. En revanche, la réciproque est fausse (ex: $u_n = (-1)^n$ est bornée mais diverge).

💡 À retenir : La convergence implique le caractère borné.

chno hiya l'farq bin suite arithmétique o géométrique ?

Arithmétique : On additionne la même valeur $r$ à chaque étape ( $u_{n+1} = u_n + r$ ).
Géométrique : On multiplie par la même valeur $q$ à chaque étape ( $u_{n+1} = u_n \times q$ ).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Arithmétique : On additionne la même valeur $r$ à chaque étape ($u_{n+1} = u_n + r$).
Géométrique : On multiplie par la même valeur $q$ à chaque étape ($u_{n+1} = u_n \times q$).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Comment utiliser le théorème de la convergence monotone ?

Montre que la suite est croissante (ou décroissante).
Montre qu'elle est majorée (ou minorée).
Conclus qu'elle est convergente.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

kifach n3ref wach suite adjacente ?

Vérifie que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
Calcule la limite de la différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .
Si les deux conditions sont réunies, elles sont adjacentes.

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite.

Vérifie que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
Calcule la limite de la différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.
Si les deux conditions sont réunies, elles sont adjacentes.

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite.

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

💡 À retenir : Le nombre de termes est (indice final - indice initial + 1).

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

💡 À retenir : Le nombre de termes est (indice final - indice initial + 1).

Est-ce que toute suite bornée est convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite car elle oscille.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite car elle oscille.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

C'est quoi une suite géométrique de raison q=1 ?

Si $q=1$ , alors $u_{n+1} = u_n \times 1 = u_n$ . La suite est constante.

💡 À retenir : Tous les termes sont égaux au premier terme.

Si $q=1$, alors $u_{n+1} = u_n \times 1 = u_n$. La suite est constante.

💡 À retenir : Tous les termes sont égaux au premier terme.

Comment montrer qu'une suite est minorée par M ?

Utilise la récurrence : montrer que $u_0 \geq M$ et que $u_n \geq M \implies u_{n+1} \geq M$ .
Ou étudie le signe de $u_n - M$ .

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les suites définies par récurrence.

Utilise la récurrence : montrer que $u_0 \geq M$ et que $u_n \geq M \implies u_{n+1} \geq M$.
Ou étudie le signe de $u_n - M$.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les suites définies par récurrence.

Est-ce que la limite d'une suite dépend du premier terme ?

Si la suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , la limite peut dépendre de $u_0$ si l'équation $f(L)=L$ a plusieurs solutions.

💡 À retenir : La convergence dépend souvent de l'intervalle où se trouve $u_0$ .

Si la suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite peut dépendre de $u_0$ si l'équation $f(L)=L$ a plusieurs solutions.

💡 À retenir : La convergence dépend souvent de l'intervalle où se trouve $u_0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n > 2$ est faux, mais que $u_n > 2$ n'est pas possible. Montrer plutôt que $u_n > 2$ est faux, montrer que $u_n > 2$ pour $u_0 > 2$ . Ici, montrer que $u_n > 2$ est faux. Montrer que $u_n \leq 2$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire qu'elle converge et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n > 2$ est faux, mais que $u_n > 2$ n'est pas possible. Montrer plutôt que $u_n > 2$ est faux, montrer que $u_n > 2$ pour $u_0 > 2$. Ici, montrer que $u_n > 2$ est faux. Montrer que $u_n \leq 2$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire qu'elle converge et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$ .