Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Logique et raisonnements

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La logique est le langage fondamental des mathématiques. Une proposition $P$ est une assertion vraie ou fausse.

Connecteurs : $\neg P$ (non $P$ ), $P \land Q$ (et), $P \lor Q$ (ou), $P \implies Q$ (implication), $P \iff Q$ (équivalence).
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe), $\exists !$ (il existe un unique).
Raisonnement par récurrence : Pour montrer $\forall n \geq n_0, P(n)$ $\forall n \geq n_{0}, P (n)$ :
1. Initialisation : $P(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : On suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ vraie.

Méthodes à maîtriser

Contraposée : Pour montrer $P \implies Q$ , on montre $\neg Q \implies \neg P$ .
Absurde : Pour montrer $P$ , on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.
Récurrence : Toujours bien rédiger l'initialisation et l'hérédité.
Analyse-Synthèse : Pour résoudre une équation ou trouver un ensemble, on cherche les solutions possibles (analyse) puis on vérifie si elles conviennent (synthèse).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Initialisation : Pour $n=0$ , $0 = 0$ . Vrai. Hérédité : Supposons $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Alors $\sum_{k=0}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)(\frac{n}{2} + 1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ . CQFD.

Erreurs fréquentes

Confondre $\forall$ et $\exists$ dans la négation : $\neg (\forall x, P(x))$ devient $\exists x, \neg P(x)$ .
Oublier l'initialisation dans une récurrence.
Utiliser une implication au lieu d'une équivalence lors de la résolution d'équations.

L'essentiel du cours

La logique est le langage fondamental des mathématiques. Une proposition $P$ est une assertion vraie ou fausse.

Connecteurs : $\neg P$ (non $P$), $P \land Q$ (et), $P \lor Q$ (ou), $P \implies Q$ (implication), $P \iff Q$ (équivalence).
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe), $\exists !$ (il existe un unique).
Raisonnement par récurrence : Pour montrer $\forall n \geq n_0, P(n)$ :
1. Initialisation : $P(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : On suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ vraie.

Méthodes à maîtriser

Contraposée : Pour montrer $P \implies Q$, on montre $\neg Q \implies \neg P$.
Absurde : Pour montrer $P$, on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.
Récurrence : Toujours bien rédiger l'initialisation et l'hérédité.
Analyse-Synthèse : Pour résoudre une équation ou trouver un ensemble, on cherche les solutions possibles (analyse) puis on vérifie si elles conviennent (synthèse).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. Initialisation : Pour $n=0$, $0 = 0$. Vrai. Hérédité : Supposons $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. Alors $\sum_{k=0}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)(\frac{n}{2} + 1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. CQFD.

Erreurs fréquentes

Confondre $\forall$ et $\exists$ dans la négation : $\neg (\forall x, P(x))$ devient $\exists x, \neg P(x)$.
Oublier l'initialisation dans une récurrence.
Utiliser une implication au lieu d'une équivalence lors de la résolution d'équations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logique et raisonnements

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La négation de " $\forall x > 0, x^2 > 0$ " est :

La négation de "$\forall x > 0, x^2 > 0$" est :

❓ Questions fréquentes

Comment nier une proposition avec des quantificateurs ?

Pour nier une proposition, on inverse les quantificateurs et on nie la propriété finale :

$\neg (\forall x \in E, P(x))$ devient $\exists x \in E, \neg P(x)$ .
$\neg (\exists x \in E, P(x))$ devient $\forall x \in E, \neg P(x)$ .

💡 À retenir : Le $\forall$ devient $\exists$ et vice-versa.

Pour nier une proposition, on inverse les quantificateurs et on nie la propriété finale :

$\neg (\forall x \in E, P(x))$ devient $\exists x \in E, \neg P(x)$.
$\neg (\exists x \in E, P(x))$ devient $\forall x \in E, \neg P(x)$.

💡 À retenir : Le $\forall$ devient $\exists$ et vice-versa.

Kifach n3ref wach nst3mel l'absurde wla l'contraposée ?

L'contraposée est utile pour les implications ( $P \implies Q$ ) surtout quand $Q$ est une négation.
L'absurde est plus général : tu l'utilises quand tu veux montrer une proposition $P$ et que tu ne sais pas par où commencer.

💡 À retenir : Si tu vois une égalité à montrer, essaie l'absurde ; si tu vois une implication, pense à la contraposée.

L'contraposée est utile pour les implications ($P \implies Q$) surtout quand $Q$ est une négation.
L'absurde est plus général : tu l'utilises quand tu veux montrer une proposition $P$ et que tu ne sais pas par où commencer.

💡 À retenir : Si tu vois une égalité à montrer, essaie l'absurde ; si tu vois une implication, pense à la contraposée.

Est-ce que P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, ce sont des propositions différentes. $Q \implies P$ est la réciproque de $P \implies Q$ .

💡 À retenir : Une implication n'est pas toujours équivalente à sa réciproque.

Non, ce sont des propositions différentes. $Q \implies P$ est la réciproque de $P \implies Q$.

💡 À retenir : Une implication n'est pas toujours équivalente à sa réciproque.

Chno hiya l'farq bin "condition nécessaire" et "condition suffisante" ?

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ si $P \implies Q$ .
$P$ est une condition nécessaire pour $Q$ si $Q \implies P$ .

💡 À retenir : $P \iff Q$ signifie que $P$ est nécessaire et suffisante pour $Q$ .

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ si $P \implies Q$.
$P$ est une condition nécessaire pour $Q$ si $Q \implies P$.

💡 À retenir : $P \iff Q$ signifie que $P$ est nécessaire et suffisante pour $Q$.

Kifach nbda l'exercice dial l'récurrence ?

Écris clairement : "Soit $P(n)$ la propriété...".
Fais l'initialisation pour la plus petite valeur de $n$ .
Écris "Supposons $P(n)$ vraie" (Hypothèse de récurrence).
Montre $P(n+1)$ en utilisant l'hypothèse.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de mentionner l'hypothèse de récurrence.

Écris clairement : "Soit $P(n)$ la propriété...".
Fais l'initialisation pour la plus petite valeur de $n$.
Écris "Supposons $P(n)$ vraie" (Hypothèse de récurrence).
Montre $P(n+1)$ en utilisant l'hypothèse.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de mentionner l'hypothèse de récurrence.

Comment montrer que deux ensembles A et B sont égaux ?

La méthode standard est la double inclusion :

Montrer que $A \subset B$ (soit $x \in A$ , montrer $x \in B$ ).
Montrer que $B \subset A$ (soit $x \in B$ , montrer $x \in A$ ).

💡 À retenir : $A=B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$ .

La méthode standard est la double inclusion :

Montrer que $A \subset B$ (soit $x \in A$, montrer $x \in B$).
Montrer que $B \subset A$ (soit $x \in B$, montrer $x \in A$).

💡 À retenir : $A=B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$.

Est-ce que je peux utiliser le raisonnement par l'absurde pour tout ?

Oui, c'est un raisonnement puissant, mais il est parfois plus long. Si une preuve directe existe, elle est souvent plus élégante.

💡 À retenir : Utilise l'absurde en dernier recours si les méthodes directes échouent.

Wach l'ordre dial l'quantificateurs mhm ?

Oui, énormément. $\forall x, \exists y, P(x,y)$ n'est pas la même chose que $\exists y, \forall x, P(x,y)$ .

💡 À retenir : Le premier dépend de $x$ , le second est indépendant de $x$ .

Oui, énormément. $\forall x, \exists y, P(x,y)$ n'est pas la même chose que $\exists y, \forall x, P(x,y)$.

💡 À retenir : Le premier dépend de $x$, le second est indépendant de $x$.

Comment nier P implies Q ?

La négation de $P \implies Q$ est $P \land \neg Q$ .

💡 À retenir : C'est le seul cas où l'implication est fausse.

La négation de $P \implies Q$ est $P \land \neg Q$.

💡 À retenir : C'est le seul cas où l'implication est fausse.

Est-ce que le raisonnement par disjonction des cas est toujours utile ?

Oui, surtout avec des valeurs absolues ou des parties entières.

💡 À retenir : Dès que tu as une fonction définie par morceaux, pense à la disjonction des cas.

Comment montrer qu'une propriété est fausse ?

Il suffit de trouver un contre-exemple, c'est-à-dire un élément pour lequel la propriété est fausse.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.

Wach l'récurrence katkhdem ghir f' mathbb{N} ?

Oui, elle est définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$ (ex: $n \geq n_0$ ).

💡 À retenir : On ne peut pas faire de récurrence sur $\mathbb{R}$ .

Oui, elle est définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$ (ex: $n \geq n_0$).

💡 À retenir : On ne peut pas faire de récurrence sur $\mathbb{R}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $3^{2n} - 2^n$ est divisible par 7.

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $3^{2n} - 2^n$ est divisible par 7.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1 > 0$ .

Exercice 3

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1 > 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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