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Espaces vectoriels

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est un ensemble muni d'une loi de composition interne ( $+$ ) et d'une loi externe ( $\cdot$ ) vérifiant les 8 axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre $0_E$ , symétrique, distributivité).

Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si $F \neq \emptyset$ , $0_E \in F$ , et $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha u + \beta v \in F$ .
Base : Une famille $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si $E$ possède une base finie de $n$ éléments, alors $\dim(E) = n$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier toujours $0_E \in F$ puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre l'équation $\sum \lambda_i e_i = 0_E$ et montrer que tous les $\lambda_i = 0$ .
Déterminer une base : Extraire une famille libre et génératrice.
Calculer la dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou le rang des vecteurs.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y = 0\}$ . C'est un SEV car $(0,0,0) \in F$ et si $u, v \in F$ , alors $\alpha u + \beta v$ vérifie aussi la condition.
Exemple 2 : Dans $\mathbb{R}^2$ , la famille $((1, 0), (0, 1))$ est une base car elle est libre et génératrice.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que $0_E \in F$ avant de commencer la preuve d'un SEV.
Confondre "famille génératrice" et "base" (une famille génératrice n'est pas forcément libre).
Penser qu'une famille de vecteurs non nuls est forcément libre (ex: $(u, 2u)$ est liée).

L'essentiel du cours

Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble muni d'une loi de composition interne ($+$) et d'une loi externe ($\cdot$) vérifiant les 8 axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre $0_E$, symétrique, distributivité).

Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si $F \neq \emptyset$, $0_E \in F$, et $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha u + \beta v \in F$.
Base : Une famille $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si $E$ possède une base finie de $n$ éléments, alors $\dim(E) = n$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier toujours $0_E \in F$ puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre l'équation $\sum \lambda_i e_i = 0_E$ et montrer que tous les $\lambda_i = 0$.
Déterminer une base : Extraire une famille libre et génératrice.
Calculer la dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou le rang des vecteurs.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $F = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y = 0}$. C'est un SEV car $(0,0,0) \in F$ et si $u, v \in F$, alors $\alpha u + \beta v$ vérifie aussi la condition.
Exemple 2 : Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $((1, 0), (0, 1))$ est une base car elle est libre et génératrice.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que $0_E \in F$ avant de commencer la preuve d'un SEV.
Confondre "famille génératrice" et "base" (une famille génératrice n'est pas forcément libre).
Penser qu'une famille de vecteurs non nuls est forcément libre (ex: $(u, 2u)$ est liée).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Espaces vectoriels

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Quelle est la dimension de $\mathbb{R}^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une famille est libre ?

On pose l'équation $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n = 0_E$ .
On résout ce système pour trouver les valeurs de $\lambda_i$ .
Si la seule solution est $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0$ , alors la famille est libre.

💡 À retenir : Une famille est libre si aucun vecteur ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres.

On pose l'équation $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n = 0_E$.
On résout ce système pour trouver les valeurs de $\lambda_i$.
Si la seule solution est $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0$, alors la famille est libre.

💡 À retenir : Une famille est libre si aucun vecteur ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres.

Kifach n3ref wach had l'ensemble howa SEV wla la ?

Vérifie d'abord si le vecteur nul $(0,0,...)$ appartient à l'ensemble. Si non, ce n'est pas un SEV.
Prends deux vecteurs $u$ et $v$ de l'ensemble et deux scalaires $\alpha$ et $\beta$ .
Vérifie si $\alpha u + \beta v$ appartient toujours à l'ensemble.

💡 À retenir : Un SEV doit être stable par combinaison linéaire.

Vérifie d'abord si le vecteur nul $(0,0,...)$ appartient à l'ensemble. Si non, ce n'est pas un SEV.
Prends deux vecteurs $u$ et $v$ de l'ensemble et deux scalaires $\alpha$ et $\beta$.
Vérifie si $\alpha u + \beta v$ appartient toujours à l'ensemble.

💡 À retenir : Un SEV doit être stable par combinaison linéaire.

C'est quoi la différence entre une famille génératrice et une base ?

Une famille génératrice permet d'écrire n'importe quel vecteur de l'espace comme combinaison linéaire de ses éléments.
Une base est une famille génératrice qui est aussi libre.
Dans une base, chaque vecteur a une écriture unique.

💡 À retenir : Base = Famille libre + Famille génératrice.

Chno hiya l'dimension dial un espace vectoriel ?

C'est le nombre de vecteurs qui composent n'importe quelle base de cet espace.
Si ton espace a une base avec 3 vecteurs, sa dimension est 3.
Tous les espaces vectoriels n'ont pas forcément une dimension finie.

💡 À retenir : La dimension est le nombre minimal de vecteurs nécessaires pour engendrer l'espace.

Est-ce que l'ensemble des polynômes de degré exactement n est un SEV ?

Non.
Si tu prends $P = X^n + X$ et $Q = -X^n + 1$ , alors $P+Q = X+1$ qui est de degré 1 (si $n > 1$ ).
Le vecteur nul n'est pas de degré $n$ .

💡 À retenir : L'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ est un SEV, mais pas celui de degré exactement $n$ .

Non.
Si tu prends $P = X^n + X$ et $Q = -X^n + 1$, alors $P+Q = X+1$ qui est de degré 1 (si $n > 1$).
Le vecteur nul n'est pas de degré $n$.

💡 À retenir : L'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ est un SEV, mais pas celui de degré exactement $n$.

Kifach n7seb la dimension dial l'intersection de deux sous-espaces ?

Tu écris les conditions qui définissent chaque sous-espace.
Tu résous le système formé par les deux conditions en même temps.
Tu cherches une base de l'ensemble des solutions obtenues.

💡 À retenir : La dimension est le nombre de vecteurs dans la base de l'intersection.

Si j'ai une famille de 4 vecteurs dans mathbb{R}^3, est-ce qu'elle peut être libre ?

Non, c'est impossible.
Dans un espace de dimension $n$ , toute famille contenant plus de $n$ vecteurs est nécessairement liée.
Ici $4 > 3$ , donc la famille est liée.

💡 À retenir : Le nombre de vecteurs d'une famille libre ne peut pas dépasser la dimension de l'espace.

Non, c'est impossible.
Dans un espace de dimension $n$, toute famille contenant plus de $n$ vecteurs est nécessairement liée.
Ici $4 > 3$, donc la famille est liée.

💡 À retenir : Le nombre de vecteurs d'une famille libre ne peut pas dépasser la dimension de l'espace.

Est-ce que l'ensemble des matrices symétriques est un SEV ?

Oui.
La matrice nulle est symétrique ( $0^T = 0$ ).
La somme de deux matrices symétriques est symétrique, et le produit par un scalaire aussi.

💡 À retenir : L'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un SEV de dimension $n(n+1)/2$ .

Oui.
La matrice nulle est symétrique ($0^T = 0$).
La somme de deux matrices symétriques est symétrique, et le produit par un scalaire aussi.

💡 À retenir : L'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un SEV de dimension $n(n+1)/2$.

Si u et v sont liés, est-ce que {u, v, w} est liée ?

Oui, toujours.
Si une partie d'une famille est liée, alors toute la famille est liée.
Comme $u$ et $v$ sont liés, il existe une combinaison linéaire non nulle qui donne $0$ .

💡 À retenir : Une famille contenant une sous-famille liée est elle-même liée.

Oui, toujours.
Si une partie d'une famille est liée, alors toute la famille est liée.
Comme $u$ et $v$ sont liés, il existe une combinaison linéaire non nulle qui donne $0$.

💡 À retenir : Une famille contenant une sous-famille liée est elle-même liée.

C'est quoi un espace vectoriel de dimension infinie ?

C'est un espace qui ne possède pas de base finie.
L'exemple classique est l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ .
On ne peut pas écrire toutes les fonctions comme combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions.

💡 À retenir : La plupart des espaces de fonctions sont de dimension infinie.

C'est un espace qui ne possède pas de base finie.
L'exemple classique est l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.
On ne peut pas écrire toutes les fonctions comme combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions.

💡 À retenir : La plupart des espaces de fonctions sont de dimension infinie.

Est-ce que le vecteur nul peut faire partie d'une famille libre ?

Non, jamais.
Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée.
Car $1 \cdot 0_E = 0_E$ , donc on a une combinaison linéaire nulle avec un coefficient non nul.

💡 À retenir : Toute famille libre ne contient pas le vecteur nul.

Non, jamais.
Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée.
Car $1 \cdot 0_E = 0_E$, donc on a une combinaison linéaire nulle avec un coefficient non nul.

💡 À retenir : Toute famille libre ne contient pas le vecteur nul.

Comment montrer que deux sous-espaces sont en somme directe ?

Il faut montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul : $F \cap G = \{0_E\}$ .
On prend un vecteur $x \in F \cap G$ et on montre que $x = 0_E$ .
Si la somme est directe, on note $F \oplus G$ .

💡 À retenir : La somme directe signifie que chaque vecteur de $F+G$ s'écrit de façon unique comme $u+v$ avec $u \in F$ et $v \in G$ .

Il faut montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul : $F \cap G = {0_E}$.
On prend un vecteur $x \in F \cap G$ et on montre que $x = 0_E$.
Si la somme est directe, on note $F \oplus G$.

💡 À retenir : La somme directe signifie que chaque vecteur de $F+G$ s'écrit de façon unique comme $u+v$ avec $u \in F$ et $v \in G$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ . On considère les vecteurs $u = (1, 1, 0)$ , $v = (0, 1, 1)$ et $w = (1, 0, 1)$ .

Montrer que $(u, v, w)$ est une base de $E$ .
Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - y + z = 0\}$ . Montrer que $F$ est un SEV de $E$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$. On considère les vecteurs $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$ et $w = (1, 0, 1)$.

Montrer que $(u, v, w)$ est une base de $E$.
Soit $F = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - y + z = 0}$. Montrer que $F$ est un SEV de $E$.

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Exercice 2

Soit $E = \mathbb{R}^3$ . Soient $F = \text{vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$ et $G = \text{vect}((1, 0, 1))$ . Montrer que $E = F \oplus G$ .

Exercice 2

Soit $E = \mathbb{R}^3$. Soient $F = \text{vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$ et $G = \text{vect}((1, 0, 1))$. Montrer que $E = F \oplus G$.

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Exercice 3

Soit $P_0 = 1, P_1 = X, P_2 = X^2 - 1$ . Montrer que $(P_0, P_1, P_2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Exercice 3

Soit $P_0 = 1, P_1 = X, P_2 = X^2 - 1$. Montrer que $(P_0, P_1, P_2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.

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