Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Calcul algébrique et nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'}$ , $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|zz'| = |z||z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ , $|z+z'| \leq |z| + |z'|$ .
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ . Propriétés : $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$ , $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ .

Méthodes à maîtriser

Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer $r = \sqrt{a^2+b^2}$ , puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$ .
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .
Résolution d'équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$ . Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , les racines sont $\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Exemples corrigés

Calcul de module : Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$ . $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ .
Racines carrées : Pour résoudre $z^2 = -3 + 4i$ , poser $z = x+iy$ et résoudre le système $x^2+y^2 = |z^2|$ et $x^2-y^2 = \text{Re}(z^2)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $\arg(z+z')$ avec $\arg(z) + \arg(z')$ , ce qui est faux.
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant de calculer les racines carrées.

L'essentiel du cours

Définition : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'}$, $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|zz'| = |z||z'|$, $|z^n| = |z|^n$, $|z+z'| \leq |z| + |z'|$.
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$. Propriétés : $\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$, $\arg(z^n) \equiv n\arg(z) [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

Méthodes à maîtriser

Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer $r = \sqrt{a^2+b^2}$, puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$.
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
Résolution d'équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$. Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, les racines sont $\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Exemples corrigés

Calcul de module : Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$. $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
Racines carrées : Pour résoudre $z^2 = -3 + 4i$, poser $z = x+iy$ et résoudre le système $x^2+y^2 = |z^2|$ et $x^2-y^2 = \text{Re}(z^2)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $\arg(z+z')$ avec $\arg(z) + \arg(z')$, ce qui est faux.
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant de calculer les racines carrées.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul algébrique et nombres complexes

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Quel est le module de $z = 3i$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'argument dyal chi adad complexe?

Écris $z$ sous forme algébrique $a+ib$ .
Calcule le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$ .
Factorise par $r$ : $z = r(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r})$ .
Cherche l'angle $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$ .

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour bien identifier l'angle.

Écris $z$ sous forme algébrique $a+ib$.
Calcule le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$.
Factorise par $r$ : $z = r(\frac{a}{r} + i\frac{b}{r})$.
Cherche l'angle $\theta$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour bien identifier l'angle.

Wach momkin nkhdem b arg(z1 + z2) = arg(z1) + arg(z2)?

Non, c'est une erreur grave. Cette propriété n'est vraie que pour le produit : $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) [2\pi]$ . Pour la somme, il n'y a pas de formule directe simple.

💡 À retenir : La somme des arguments ne s'applique jamais à la somme des nombres complexes.

Non, c'est une erreur grave. Cette propriété n'est vraie que pour le produit : $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) [2\pi]$. Pour la somme, il n'y a pas de formule directe simple.

💡 À retenir : La somme des arguments ne s'applique jamais à la somme des nombres complexes.

Chno hiya l'fayda dyal l'forme exponentielle?

Elle simplifie énormément les calculs de puissances et de produits. Par exemple, $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ . C'est beaucoup plus rapide que de développer avec la forme algébrique.

💡 À retenir : La forme exponentielle est l'outil idéal pour les puissances $n$ -ièmes.

Elle simplifie énormément les calculs de puissances et de produits. Par exemple, $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$. C'est beaucoup plus rapide que de développer avec la forme algébrique.

💡 À retenir : La forme exponentielle est l'outil idéal pour les puissances $n$-ièmes.

Comment déterminer l'ensemble des points M tels que |z - i| = |z + 1| ?

Interprète géométriquement : $|z - z_A| = |z - z_B|$ signifie $AM = BM$ .
L'ensemble des points est la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(0,1)$ et $B(-1,0)$ .

💡 À retenir : Le module d'une différence représente une distance entre deux points.

Interprète géométriquement : $|z - z_A| = |z - z_B|$ signifie $AM = BM$.
L'ensemble des points est la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(0,1)$ et $B(-1,0)$.

💡 À retenir : Le module d'une différence représente une distance entre deux points.

Comment résoudre z^n = a ?

Écris $a$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ .
Pose $z = \rho e^{i\alpha}$ .
Équation devient $\rho^n e^{in\alpha} = re^{i\theta}$ .
Donc $\rho = \sqrt[n]{r}$ et $\alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, ..., n-1\}$ .

💡 À retenir : Il y a toujours $n$ solutions distinctes.

Écris $a$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$.
Pose $z = \rho e^{i\alpha}$.
Équation devient $\rho^n e^{in\alpha} = re^{i\theta}$.
Donc $\rho = \sqrt[n]{r}$ et $\alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$ pour $k \in {0, ..., n-1}$.

💡 À retenir : Il y a toujours $n$ solutions distinctes.

Est-ce que le conjugué du produit est le produit des conjugués ?

Oui, c'est une propriété fondamentale : $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ . Cela se démontre facilement en utilisant la forme algébrique.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur toutes les opérations (somme, produit, quotient).

Oui, c'est une propriété fondamentale : $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$. Cela se démontre facilement en utilisant la forme algébrique.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur toutes les opérations (somme, produit, quotient).

Comment calculer (1+i)^{10} rapidement ?

Passe à la forme exponentielle : $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ .
Applique la puissance : $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4}$ .
Simplifie : $2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i$ .

💡 À retenir : Toujours passer par la forme exponentielle pour les grandes puissances.

Passe à la forme exponentielle : $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$.
Applique la puissance : $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4}$.
Simplifie : $2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i$.

💡 À retenir : Toujours passer par la forme exponentielle pour les grandes puissances.

Comment trouver la forme algébrique de e^{ipi/3} ?

Utilise la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ . Ici, $\cos(\pi/3) = 1/2$ et $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ . Donc $e^{i\pi/3} = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ .

💡 À retenir : Connaître les valeurs usuelles du cercle trigonométrique est indispensable.

Utilise la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$. Ici, $\cos(\pi/3) = 1/2$ et $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Donc $e^{i\pi/3} = 1/2 + i\sqrt{3}/2$.

💡 À retenir : Connaître les valeurs usuelles du cercle trigonométrique est indispensable.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| est toujours vrai ?

Non, c'est l'inégalité triangulaire $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ . L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : L'inégalité est stricte sauf dans des cas particuliers de colinéarité.

Non, c'est l'inégalité triangulaire $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : L'inégalité est stricte sauf dans des cas particuliers de colinéarité.

Comment montrer qu'un nombre est réel ?

Un nombre $z$ est réel si et seulement si $\text{Im}(z) = 0$ ou si $z = \bar{z}$ .

💡 À retenir : La condition $z = \bar{z}$ est souvent plus rapide à utiliser dans les calculs littéraux.

Un nombre $z$ est réel si et seulement si $\text{Im}(z) = 0$ ou si $z = \bar{z}$.

💡 À retenir : La condition $z = \bar{z}$ est souvent plus rapide à utiliser dans les calculs littéraux.

Comment montrer qu'un nombre est imaginaire pur ?

Un nombre $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\text{Re}(z) = 0$ ou si $z = -\bar{z}$ (avec $z \neq 0$ ).

💡 À retenir : Ne pas oublier le cas $z=0$ qui est à la fois réel et imaginaire pur.

Un nombre $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\text{Re}(z) = 0$ ou si $z = -\bar{z}$ (avec $z \neq 0$).

💡 À retenir : Ne pas oublier le cas $z=0$ qui est à la fois réel et imaginaire pur.

Pourquoi on utilise i ?

$i$ est défini pour permettre la résolution d'équations qui n'ont pas de solution dans $\mathbb{R}$ , comme $x^2 + 1 = 0$ . Cela permet de compléter le corps des réels.

💡 À retenir : $i$ est la solution de $x^2 = -1$ .

$i$ est défini pour permettre la résolution d'équations qui n'ont pas de solution dans $\mathbb{R}$, comme $x^2 + 1 = 0$. Cela permet de compléter le corps des réels.