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Déterminants et systèmes linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ .
Pour $n=2$ , $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ .
Pour $n=3$ , on utilise la règle de Sarrus ou le développement suivant une ligne/colonne.
Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .
Formule de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \, ^t(\text{com}(A))$ .
Système de Cramer : $AX=B$ admet une solution unique $X = A^{-1}B$ si $\det(A) \neq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer un déterminant par développement selon une ligne ou colonne comportant des zéros.
Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes ( $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ ) pour faire apparaître des zéros.
Résoudre un système par la méthode de Gauss (échelonnement).
Vérifier l'inversibilité d'une matrice avant de chercher son inverse.

Exemples corrigés

Calcul de déterminant : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1(3-0) - 2(0-2) + 0 = 3 + 4 = 7$ .
Inversion : Si $\det(A) = 2$ , alors $A^{-1} = \frac{1}{2} \, ^t(\text{com}(A))$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement d'un déterminant.
Multiplier une ligne entière par un scalaire sans diviser le déterminant par ce même scalaire.
Confondre la transposée de la comatrice avec la comatrice elle-même.

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$.
Pour $n=2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.
Pour $n=3$, on utilise la règle de Sarrus ou le développement suivant une ligne/colonne.
Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.
Formule de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} , ^t(\text{com}(A))$.
Système de Cramer : $AX=B$ admet une solution unique $X = A^{-1}B$ si $\det(A) \neq 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer un déterminant par développement selon une ligne ou colonne comportant des zéros.
Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes ($L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$) pour faire apparaître des zéros.
Résoudre un système par la méthode de Gauss (échelonnement).
Vérifier l'inversibilité d'une matrice avant de chercher son inverse.

Exemples corrigés

Calcul de déterminant : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 3 & 1 \ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1(3-0) - 2(0-2) + 0 = 3 + 4 = 7$.
Inversion : Si $\det(A) = 2$, alors $A^{-1} = \frac{1}{2} , ^t(\text{com}(A))$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement d'un déterminant.
Multiplier une ligne entière par un scalaire sans diviser le déterminant par ce même scalaire.
Confondre la transposée de la comatrice avec la comatrice elle-même.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Déterminants et systèmes linéaires

1/4

Si $\det(A) = 5$ , alors $\det(2A)$ pour une matrice 3x3 est :

Si $\det(A) = 5$, alors $\det(2A)$ pour une matrice 3x3 est :

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'utilité dyal la comatrice?

La comatrice sert principalement à calculer l'inverse d'une matrice. La formule $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \, ^t(\text{com}(A))$ est fondamentale quand on ne peut pas utiliser Gauss.

💡 À retenir : $A \cdot \text{com}(A)^T = \det(A) \cdot I_n$ .

La comatrice sert principalement à calculer l'inverse d'une matrice. La formule $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} , ^t(\text{com}(A))$ est fondamentale quand on ne peut pas utiliser Gauss.

💡 À retenir : $A \cdot \text{com}(A)^T = \det(A) \cdot I_n$.

Est-ce que det(A+B) = det(A) + det(B) ?

Non, c'est une erreur classique. Le déterminant est une forme multilinéaire, pas une application linéaire. En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$ .

💡 À retenir : Le déterminant respecte le produit : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ .

Non, c'est une erreur classique. Le déterminant est une forme multilinéaire, pas une application linéaire. En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$.

💡 À retenir : Le déterminant respecte le produit : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.

Est-ce que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux ?

Oui, absolument. Pour une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), le déterminant est égal au produit des éléments situés sur la diagonale principale. C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : $\det(T) = \prod_{i=1}^n a_{ii}$ .

💡 À retenir : $\det(T) = \prod_{i=1}^n a_{ii}$.

Kifach n7seb déterminant dyal matrice 4x4?

Pour une matrice 4x4, la méthode la plus efficace est d'utiliser les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes pour faire apparaître un maximum de zéros dans une ligne ou une colonne, puis de développer selon cette ligne/colonne.

💡 À retenir : Ne jamais essayer la règle de Sarrus, elle ne marche que pour 3x3 !

Si det(A) = 0, est-ce que le système AX=B n'a pas de solution ?

Pas forcément. Si $\det(A) = 0$ , le système peut soit ne pas avoir de solution (système incompatible), soit avoir une infinité de solutions (système indéterminé). Il faut utiliser la méthode de Gauss pour trancher.

💡 À retenir : $\det(A)=0 \implies$ pas de solution unique.

Pas forcément. Si $\det(A) = 0$, le système peut soit ne pas avoir de solution (système incompatible), soit avoir une infinité de solutions (système indéterminé). Il faut utiliser la méthode de Gauss pour trancher.

💡 À retenir : $\det(A)=0 \implies$ pas de solution unique.

Kifach n3ref wach système 3ando 7al wa7id?

Un système linéaire $AX=B$ admet une solution unique si et seulement si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire si $\det(A) \neq 0$ .

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Système de Cramer.

Un système linéaire $AX=B$ admet une solution unique si et seulement si la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire si $\det(A) \neq 0$.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Système de Cramer.

Peut-on changer deux lignes dans un déterminant ?

Oui, mais attention : chaque échange de deux lignes (ou deux colonnes) multiplie le déterminant par $-1$ .

💡 À retenir : Échange = changement de signe.

Oui, mais attention : chaque échange de deux lignes (ou deux colonnes) multiplie le déterminant par $-1$.

💡 À retenir : Échange = changement de signe.

Est-ce que le déterminant d'une matrice nulle est toujours 0 ?

Oui, car une matrice nulle possède au moins une ligne (ou colonne) de zéros. Si une ligne est nulle, le déterminant est nul.

💡 À retenir : Ligne nulle $\implies$ déterminant nul.

Oui, car une matrice nulle possède au moins une ligne (ou colonne) de zéros. Si une ligne est nulle, le déterminant est nul.

💡 À retenir : Ligne nulle $\implies$ déterminant nul.

Est-ce que det(kA) = k det(A) ?

Non, attention ! Si $A$ est une matrice de taille $n \times n$ , alors $\det(kA) = k^n \det(A)$ . Le scalaire sort pour chaque ligne.

💡 À retenir : $k$ sort à la puissance $n$ .

Non, attention ! Si $A$ est une matrice de taille $n \times n$, alors $\det(kA) = k^n \det(A)$. Le scalaire sort pour chaque ligne.

💡 À retenir : $k$ sort à la puissance $n$.

Est-ce que det(^tA) = det(A) ?

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Cela signifie que les propriétés des lignes sont identiques aux propriétés des colonnes.

💡 À retenir : $\det(A) = \det(^tA)$ .

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Cela signifie que les propriétés des lignes sont identiques aux propriétés des colonnes.

💡 À retenir : $\det(A) = \det(^tA)$.

Wach momkin n7seb déterminant b tari9a khra mn ghir Gauss?

Oui, tu peux utiliser le développement selon une ligne ou une colonne (formule de Laplace), ou encore transformer la matrice en matrice triangulaire par des opérations élémentaires.

💡 À retenir : Gauss est souvent le plus rapide pour les grandes matrices.

Est-ce que le déterminant de l'inverse est l'inverse du déterminant ?

Oui, si $A$ est inversible, alors $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ . C'est une conséquence directe de $\det(AA^{-1}) = \det(I) = 1$ .

💡 À retenir : $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ .

Oui, si $A$ est inversible, alors $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$. C'est une conséquence directe de $\det(AA^{-1}) = \det(I) = 1$.

💡 À retenir : $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ .

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^{-1}$ en utilisant la comatrice.

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$ en utilisant la comatrice.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre le système : $x + y + z = 1$ $x + 2y + 3z = 2$ $x + 4y + 9z = 3$

Exercice 3

Résoudre le système : $x + y + z = 1$ $x + 2y + 3z = 2$ $x + 4y + 9z = 3$

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