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Polynômes et fractions rationnelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ est une expression de la forme $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ .

Degré : $\deg(P)$ est le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$ .
Racines : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-\alpha)$ divise $P(x)$ .
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{K}[x]$ avec $A \neq 0$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$ .
Fractions rationnelles : $F = \frac{P}{Q}$ . La décomposition en éléments simples se fait selon les pôles de $Q$ .

Méthodes à maîtriser

Division euclidienne : Utiliser la disposition en potence pour trouver le quotient et le reste.
Schéma de Horner : Pour évaluer un polynôme ou le diviser par $(x-a)$ rapidement.
Décomposition en éléments simples :
- Si le pôle est simple : $F(x) = \frac{a}{x-\alpha} + \dots$
- Si le pôle est multiple : $F(x) = \frac{a_1}{x-\alpha} + \frac{a_2}{(x-\alpha)^2} + \dots$

Exemples corrigés

Division : Diviser $x^3-1$ par $x-1$ . On trouve $x^2+x+1$ .
Racines : $P(x) = x^2-3x+2$ . Les racines sont 1 et 2 car $P(1)=0$ et $P(2)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre la multiplicité d'une racine avec le nombre de racines.
Ne pas vérifier si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur avant d'effectuer la division euclidienne pour la décomposition.

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ est une expression de la forme $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$.

Degré : $\deg(P)$ est le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$.
Racines : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-\alpha)$ divise $P(x)$.
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{K}[x]$ avec $A \neq 0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$.
Fractions rationnelles : $F = \frac{P}{Q}$. La décomposition en éléments simples se fait selon les pôles de $Q$.

Méthodes à maîtriser

Division euclidienne : Utiliser la disposition en potence pour trouver le quotient et le reste.
Schéma de Horner : Pour évaluer un polynôme ou le diviser par $(x-a)$ rapidement.
Décomposition en éléments simples :
- Si le pôle est simple : $F(x) = \frac{a}{x-\alpha} + \dots$
- Si le pôle est multiple : $F(x) = \frac{a_1}{x-\alpha} + \frac{a_2}{(x-\alpha)^2} + \dots$

Exemples corrigés

Division : Diviser $x^3-1$ par $x-1$. On trouve $x^2+x+1$.
Racines : $P(x) = x^2-3x+2$. Les racines sont 1 et 2 car $P(1)=0$ et $P(2)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre la multiplicité d'une racine avec le nombre de racines.
Ne pas vérifier si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur avant d'effectuer la division euclidienne pour la décomposition.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Polynômes et fractions rationnelles

1/4

Quel est le degré du polynôme $P(x) = (x^2+1)^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le degré du produit est la somme des degrés ?

Oui, pour deux polynômes $P$ et $Q$ non nuls, on a $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$ .

💡 À retenir : Cette propriété est fondamentale pour les calculs de degré.

Oui, pour deux polynômes $P$ et $Q$ non nuls, on a $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$.

💡 À retenir : Cette propriété est fondamentale pour les calculs de degré.

Peut-on diviser par un polynôme nul ?

Non, la division par le polynôme nul est interdite, tout comme la division par zéro dans les nombres.

💡 À retenir : Le diviseur doit toujours être non nul.

Est-ce que le reste peut avoir le même degré que le diviseur ?

Non, par définition de la division euclidienne, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.

💡 À retenir : $\deg(R) < \deg(A)$ .

Non, par définition de la division euclidienne, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.

💡 À retenir : $\deg(R) < \deg(A)$.

Comment trouver les racines d'un polynôme de degré 3 ?

Cherche une racine évidente (souvent $\pm 1, \pm 2$ ).
Factorise par $(x-\alpha)$ en utilisant la division euclidienne.
Résous l'équation du second degré obtenue.

💡 À retenir : La recherche de racine évidente est la clé.

Cherche une racine évidente (souvent $\pm 1, \pm 2$).
Factorise par $(x-\alpha)$ en utilisant la division euclidienne.
Résous l'équation du second degré obtenue.

💡 À retenir : La recherche de racine évidente est la clé.

Kifach n7seb les coefficients dyal décomposition f fraction rationnelle ?

Utilise la multiplication par $(x-\alpha)$ et prends la limite quand $x \to \alpha$ .
Utilise l'identification des coefficients en développant le tout.
Utilise la division euclidienne pour la partie entière.

💡 À retenir : La méthode des limites est souvent la plus rapide pour les pôles simples.

Utilise la multiplication par $(x-\alpha)$ et prends la limite quand $x \to \alpha$.
Utilise l'identification des coefficients en développant le tout.
Utilise la division euclidienne pour la partie entière.

💡 À retenir : La méthode des limites est souvent la plus rapide pour les pôles simples.

Est-ce que tout polynôme a des racines ?

Non, pas dans $\mathbb{R}$ . Par exemple, $P(x) = x^2 + 1$ n'a aucune racine réelle car $x^2+1 \geq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Cependant, dans $\mathbb{C}$ , tout polynôme de degré $n \geq 1$ possède au moins une racine (théorème de d'Alembert-Gauss).

💡 À retenir : L'existence des racines dépend du corps de base ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Non, pas dans $\mathbb{R}$. Par exemple, $P(x) = x^2 + 1$ n'a aucune racine réelle car $x^2+1 \geq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cependant, dans $\mathbb{C}$, tout polynôme de degré $n \geq 1$ possède au moins une racine (théorème de d'Alembert-Gauss).

💡 À retenir : L'existence des racines dépend du corps de base ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Kifach n3ref wach P kaysm l Q wla la ?

Bach t3ref wach $P$ kaysm $Q$ , khassk tdir la division euclidienne dyal $Q$ 3la $P$ . Ila kan le reste $R(x) = 0$ , rah $P$ kaysm $Q$ .

💡 À retenir : $P|Q \iff \exists K, Q = P \times K$ .

Bach t3ref wach $P$ kaysm $Q$, khassk tdir la division euclidienne dyal $Q$ 3la $P$. Ila kan le reste $R(x) = 0$, rah $P$ kaysm $Q$.

💡 À retenir : $P|Q \iff \exists K, Q = P \times K$.

Qu'est-ce qu'une racine de multiplicité k ?

Un nombre $\alpha$ est racine de multiplicité $k$ si $(x-\alpha)^k$ divise $P(x)$ mais $(x-\alpha)^{k+1}$ ne divise pas $P(x)$ . Cela signifie que $P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(k-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(k)}(\alpha) \neq 0$ .

💡 À retenir : La multiplicité est liée aux dérivées successives.

Un nombre $\alpha$ est racine de multiplicité $k$ si $(x-\alpha)^k$ divise $P(x)$ mais $(x-\alpha)^{k+1}$ ne divise pas $P(x)$. Cela signifie que $P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(k-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(k)}(\alpha) \neq 0$.

💡 À retenir : La multiplicité est liée aux dérivées successives.

Chno hiya l'utilité dyal la décomposition en éléments simples ?

La décomposition sert surtout à faciliter le calcul des primitives des fractions rationnelles et à étudier le comportement des fonctions rationnelles au voisinage des pôles.

💡 À retenir : C'est un outil indispensable pour l'intégration.

Si deg(P) < deg(Q), est-ce qu'il y a une partie entière ?

Non, la partie entière est nulle. La partie entière n'apparaît que si $\deg(P) \geq \deg(Q)$ lors de la division euclidienne.

💡 À retenir : Partie entière = quotient de la division euclidienne.

Non, la partie entière est nulle. La partie entière n'apparaît que si $\deg(P) \geq \deg(Q)$ lors de la division euclidienne.

💡 À retenir : Partie entière = quotient de la division euclidienne.

Qu'est-ce qu'un polynôme irréductible ?

C'est un polynôme qui ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement inférieur. Dans $\mathbb{R}[x]$ , ce sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 avec un discriminant négatif.

💡 À retenir : Irréductible = ne se factorise plus.

C'est un polynôme qui ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement inférieur. Dans $\mathbb{R}[x]$, ce sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 avec un discriminant négatif.

💡 À retenir : Irréductible = ne se factorise plus.

Est-ce que P(x) = 0 a un degré ?

Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$ .

💡 À retenir : $\deg(0) = -\infty$ .

Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$.

💡 À retenir : $\deg(0) = -\infty$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Montrer que 1 est racine de $P$ .
Factoriser $P(x)$ en produit de polynômes de degré 1.

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Montrer que 1 est racine de $P$.
Factoriser $P(x)$ en produit de polynômes de degré 1.

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Exercice 2

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ la fraction $F(x) = \frac{1}{x^2-1}$ .

Exercice 2

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ la fraction $F(x) = \frac{1}{x^2-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer le quotient et le reste de la division de $P(x) = x^4 + 1$ par $Q(x) = x^2 + 1$ .

Exercice 3

Déterminer le quotient et le reste de la division de $P(x) = x^4 + 1$ par $Q(x) = x^2 + 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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