Géométrie analytique dans l'espace

Deux droites sont coplanaires si elles sont sécantes ou parallèles. Pour le vérifier :

1. Vérifie si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles).
2. Sinon, cherche s'il existe un point d'intersection en résolvant le système d'équations paramétriques.
3. Si le système n'a pas de solution et que les vecteurs ne sont pas colinéaires, elles sont non coplanaires (droites gauches).

💡 À retenir : Les droites gauches ne se coupent jamais et ne sont pas parallèles.

Pour calculer la distance d'un point $M$ à une droite $(D)$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ :

1. Utilise la formule : $d(M, D) = \frac{|\vec{AM} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|}$.
2. Calcule le vecteur $\vec{AM}$.
3. Calcule le produit vectoriel $\vec{AM} \wedge \vec{u}$.
4. Calcule les normes et fais le rapport.

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour éviter de chercher le projeté orthogonal.

Oui, deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Pour deux droites, leurs vecteurs directeurs doivent être orthogonaux. Pour un plan et une droite, le vecteur directeur de la droite doit être colinéaire au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.

Un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ et une droite $(D)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ sont perpendiculaires si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

1. Vérifie s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{n}$.
2. Si oui, ils sont perpendiculaires.

💡 À retenir : La direction de la droite doit être la même que celle de la normale au plan.

Non, le produit vectoriel tel qu'étudié au lycée n'est défini que dans l'espace de dimension 3. (à vérifier par le professeur : hors programme).

💡 À retenir : Le produit vectoriel est une spécificité de la dimension 3.

L'intersection de trois plans peut être :

1. Un point unique (système de Cramer).
2. Une droite.
3. Un plan (s'ils sont confondus).
4. Vide (si deux plans sont parallèles ou s'ils forment un prisme).

💡 À retenir : Il faut résoudre le système linéaire associé aux équations des plans.

Le centre $H$ du cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphère $\Omega$ sur le plan $(P)$.

1. Écris la représentation paramétrique de la droite passant par $\Omega$ et dirigée par le vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
2. Remplace dans l'équation du plan pour trouver le paramètre $t$.
3. Déduis les coordonnées de $H$.

💡 À retenir : $H$ est le point du plan le plus proche de $\Omega$.

Non, tout vecteur colinéaire au vecteur normal est aussi un vecteur normal. Si $\vec{n}(a, b, c)$ est normal, alors $k\vec{n}(ka, kb, kc)$ l'est aussi pour tout $k \neq 0$.

💡 À retenir : L'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ est équivalente à $kax+kby+kcz+kd=0$.

Il suffit de calculer la distance entre le centre de la sphère $\Omega$ et le point $M$.

1. Si $d(\Omega, M) = R$, alors $M$ appartient à la sphère.
2. Si $d(\Omega, M) < R$, $M$ est à l'intérieur.
3. Si $d(\Omega, M) > R$, $M$ est à l'extérieur.

💡 À retenir : Utilise la formule de la distance entre deux points.

C'est le nombre réel défini par $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$. Il permet de calculer le volume d'un parallélépipède construit sur les trois vecteurs : $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.

💡 À retenir : Si le produit mixte est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

1. Vérifie si $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$.
2. Si oui, ils sont parallèles.
3. S'ils ont un point commun, ils sont confondus.

💡 À retenir : Regarde les coefficients $a, b, c$ des équations $ax+by+cz+d=0$.

Oui, à condition que $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Si $a=b=c=0$, l'équation ne représente pas un plan (soit vide, soit tout l'espace).

💡 À retenir : Les coefficients du plan correspondent aux composantes du vecteur normal.