Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Dénombrement et probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, le nombre total de possibilités est le produit des choix à chaque étape.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre important, tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Propriétés : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ et $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Méthodes à maîtriser

Choix de l'outil : Se demander toujours "L'ordre compte-t-il ?" et "Y a-t-il remise ?".
Dénombrement : Utiliser le complémentaire si l'énoncé contient "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les épreuves successives.

Exemples corrigés

Tirage simultané de 3 boules parmi 10 : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Tirage successif avec remise de 3 boules parmi 10 : $10^3 = 1000$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ .
Oublier que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
Appliquer $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier l'indépendance.

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, le nombre total de possibilités est le produit des choix à chaque étape.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre important, tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Propriétés : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ et $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Méthodes à maîtriser

Choix de l'outil : Se demander toujours "L'ordre compte-t-il ?" et "Y a-t-il remise ?".
Dénombrement : Utiliser le complémentaire si l'énoncé contient "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les épreuves successives.

Exemples corrigés

Tirage simultané de 3 boules parmi 10 : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Tirage successif avec remise de 3 boules parmi 10 : $10^3 = 1000$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$.
Oublier que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Appliquer $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier l'indépendance.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dénombrement et probabilités

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Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec 5 lettres distinctes (sans répétition) ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach n-khdem b An^k wla Cn^k ?

Chouf wach t-tartib mouhim (wach l-kora l-oula mkhlfa 3la t-tanya).
Ila kan t-tartib mouhim (ex: l-manasib, l-ar9am), khdem b $A_n^k$ .
Ila kan t-tartib ma mouhimch (ex: majmou3a dyal l-kouriyat), khdem b $C_n^k$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre", "Combinaison" = "Choix".

Chouf wach t-tartib mouhim (wach l-kora l-oula mkhlfa 3la t-tanya).
Ila kan t-tartib mouhim (ex: l-manasib, l-ar9am), khdem b $A_n^k$.
Ila kan t-tartib ma mouhimch (ex: majmou3a dyal l-kouriyat), khdem b $C_n^k$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre", "Combinaison" = "Choix".

Chno hiya l-far9 bin s7b f-d9i9a (simultané) w s7b taba3i (successif) ?

S7b f-d9i9a (simultané) : Dima kan-khdmo b $C_n^k$ hit t-tartib ma 3ndouch ma3na.
S7b taba3i (successif) :
- B-i7lal (avec remise) : $n^k$ .
- Bla i7lal (sans remise) : $A_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement ou Puissance.

S7b f-d9i9a (simultané) : Dima kan-khdmo b $C_n^k$ hit t-tartib ma 3ndouch ma3na.
S7b taba3i (successif) :
- B-i7lal (avec remise) : $n^k$.
- Bla i7lal (sans remise) : $A_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement ou Puissance.

Kifach n-khdem b l-7adath l-mou3akis (événement contraire) ?

Ila l9iti f-soual "au moins un" (3la l-a9al wa7d), hna khassk t-fker f l-7adath l-mou3akis.
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .
L-mou3akis dyal "au moins un" houwa "aucun".

💡 À retenir : Toujours passer par le contraire quand le calcul direct est trop long.

Ila l9iti f-soual "au moins un" (3la l-a9al wa7d), hna khassk t-fker f l-7adath l-mou3akis.
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
L-mou3akis dyal "au moins un" houwa "aucun".

💡 À retenir : Toujours passer par le contraire quand le calcul direct est trop long.

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

C'est la probabilité qu'un événement $B$ se réalise sachant que $A$ est déjà réalisé. On la note $P_A(B)$ .

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

C'est la probabilité qu'un événement $B$ se réalise sachant que $A$ est déjà réalisé. On la note $P_A(B)$.

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'indépendance, il faut toujours la vérifier par le calcul.

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'indépendance, il faut toujours la vérifier par le calcul.

Quelle est la différence entre une permutation et un arrangement ?

Une permutation est un cas particulier d'arrangement où l'on utilise tous les éléments ( $k=n$ ).

💡 À retenir : $P_n = A_n^n = n!$ .

Une permutation est un cas particulier d'arrangement où l'on utilise tous les éléments ($k=n$).

💡 À retenir : $P_n = A_n^n = n!$.

Peut-on avoir une probabilité supérieure à 1 ?

Non, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves plus, vérifie ton calcul de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves plus, vérifie ton calcul de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Comment calculer le nombre de parties d'un ensemble à n éléments ?

Le nombre de parties est donné par $2^n$ .

💡 À retenir : Cela correspond à la somme des combinaisons $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ .

Le nombre de parties est donné par $2^n$.

💡 À retenir : Cela correspond à la somme des combinaisons $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère l'ensemble des objets tirés sans se soucier de leur ordre d'apparition.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Ordre non pris en compte.

Comment utiliser l'arbre de probabilités ?

Chaque branche représente une issue.
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Pour obtenir la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches.

💡 À retenir : L'arbre est idéal pour les expériences à plusieurs étapes.

Qu'est-ce qu'un univers Omega ?

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

💡 À retenir : Le cardinal de $\Omega$ est le dénominateur de toutes tes probabilités.

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

💡 À retenir : Le cardinal de $\Omega$ est le dénominateur de toutes tes probabilités.

Pourquoi 0! = 1 ?

Par convention mathématique, pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!}$ fonctionnent, on pose $0! = 1$ .

💡 À retenir : $0! = 1$ est une définition nécessaire.

Par convention mathématique, pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!}$ fonctionnent, on pose $0! = 1$.

💡 À retenir : $0! = 1$ est une définition nécessaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément 3 boules. Calculer la probabilité d'obtenir :

Trois boules rouges.
Au moins une boule blanche.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On tire successivement et sans remise 2 jetons d'une urne contenant 4 jetons numérotés 1, 2, 3, 4.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
Quelle est la probabilité que la somme des numéros soit égale à 5 ?

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Exercice 3

Une urne $U_1$ contient 2 boules blanches et 3 noires. Une urne $U_2$ contient 3 blanches et 2 noires. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule.

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.
Sachant que la boule est blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de $U_1$ ?

Exercice 3

Une urne $U_1$ contient 2 boules blanches et 3 noires. Une urne $U_2$ contient 3 blanches et 2 noires. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule.

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.
Sachant que la boule est blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de $U_1$ ?

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