Mathématiques · Prépa concours post-bac — Écoles militaires & royales

Variables aléatoires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : C'est l'ensemble des couples $(x_i, P(X=x_i))$ tels que $\sum P(X=x_i) = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
Loi Binomiale : Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ . Son espérance est $E(X) = np$ et sa variance $V(X) = np(1-p)$ .

Méthodes à maîtriser

Construire la loi : Identifier toutes les valeurs possibles de $X$ et calculer la probabilité de chaque événement $(X=x_i)$ en utilisant le dénombrement.
Calculer l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 avant de calculer $E(X)$ .
Utiliser la loi binomiale : Vérifier les conditions : répétition d'épreuves identiques, indépendantes, et deux issues possibles (succès/échec).

Exemples corrigés

Soit $X$ une variable prenant les valeurs $\{-1, 1\}$ avec $P(X=-1)=0.4$ et $P(X=1)=0.6$ . $E(X) = (-1 \times 0.4) + (1 \times 0.6) = 0.2$ . $E(X^2) = ((-1)^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.6) = 1$ . $V(X) = 1 - (0.2)^2 = 0.96$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=x_i)$ doit être compris entre 0 et 1.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ .
Utiliser la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des tirages.

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.

Loi de probabilité : C'est l'ensemble des couples $(x_i, P(X=x_i))$ tels que $\sum P(X=x_i) = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Loi Binomiale : Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Son espérance est $E(X) = np$ et sa variance $V(X) = np(1-p)$.

Méthodes à maîtriser

Construire la loi : Identifier toutes les valeurs possibles de $X$ et calculer la probabilité de chaque événement $(X=x_i)$ en utilisant le dénombrement.
Calculer l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 avant de calculer $E(X)$.
Utiliser la loi binomiale : Vérifier les conditions : répétition d'épreuves identiques, indépendantes, et deux issues possibles (succès/échec).

Exemples corrigés

Soit $X$ une variable prenant les valeurs ${-1, 1}$ avec $P(X=-1)=0.4$ et $P(X=1)=0.6$. $E(X) = (-1 \times 0.4) + (1 \times 0.6) = 0.2$. $E(X^2) = ((-1)^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.6) = 1$. $V(X) = 1 - (0.2)^2 = 0.96$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=x_i)$ doit être compris entre 0 et 1.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$.
Utiliser la loi binomiale sans vérifier l'indépendance des tirages.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires

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Si $E(X)=2$ et $E(X^2)=5$ , alors $V(X)$ vaut :

Si $E(X)=2$ et $E(X^2)=5$, alors $V(X)$ vaut :

❓ Questions fréquentes

Peut-on avoir E(X) non entier ?

Oui, l'espérance est une moyenne pondérée, elle n'a aucune raison d'être un entier.

💡 À retenir : $E(X) \in \mathbb{R}$ .

Oui, l'espérance est une moyenne pondérée, elle n'a aucune raison d'être un entier.

💡 À retenir : $E(X) \in \mathbb{R}$.

Pourquoi on utilise Cn^k dans la loi binomiale ?

Parce qu'il y a $C_n^k$ façons de choisir les $k$ positions où le succès est apparu parmi les $n$ répétitions.

💡 À retenir : C'est le coefficient binomial.

Parce qu'il y a $C_n^k$ façons de choisir les $k$ positions où le succès est apparu parmi les $n$ répétitions.

💡 À retenir : C'est le coefficient binomial.

Kifach n3ref wach khassni nkhdem b'loi binomiale wla la?

Chouf wach 3ndek tajarib m3awda (n fois).
Chouf wach kol tajriba 3ndha ghir 2 dyal l'i7timalat (naja7 aw fachl).
Chouf wach l'i7timal dyal naja7 (p) tabet f'ga3 tajarib.
Ila kan l'i7tira3 (tirage) b'i7lal (avec remise), rah indépendance kayna.

💡 À retenir : Loi binomiale = Répétition + Indépendance + 2 issues.

Chno l'far9 bin l'espérance w'l'variance?

L'espérance $E(X)$ hiya l'moyenne, ya3ni fin kaytjm3ou l'qiyam f'l'wast.
L'variance $V(X)$ hiya l'mi3yar dyal tachtout, katwarrina wach l'qiyam m9arbin mn l'moyenne wla mchettin.

💡 À retenir : $E(X)$ donne la valeur centrale, $V(X)$ mesure la dispersion.

L'espérance $E(X)$ hiya l'moyenne, ya3ni fin kaytjm3ou l'qiyam f'l'wast.
L'variance $V(X)$ hiya l'mi3yar dyal tachtout, katwarrina wach l'qiyam m9arbin mn l'moyenne wla mchettin.

💡 À retenir : $E(X)$ donne la valeur centrale, $V(X)$ mesure la dispersion.

Kifach n7seb V(X) ila knt 3arf E(X)?

Khassk t7seb l'awwel $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .
Tkhdem b'la formule : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : La formule de König-Huygens est indispensable.

Khassk t7seb l'awwel $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.
Tkhdem b'la formule : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : La formule de König-Huygens est indispensable.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire centrée ?

C'est une variable $Y = X - E(X)$ . Son espérance est toujours nulle.

💡 À retenir : $E(X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0$ .

C'est une variable $Y = X - E(X)$. Son espérance est toujours nulle.

💡 À retenir : $E(X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0$.

Comment calculer P(X geq 1) dans une loi binomiale ?

Il est plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$ .

💡 À retenir : $P(X=0) = (1-p)^n$ .

Il est plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.

💡 À retenir : $P(X=0) = (1-p)^n$.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, jamais. La variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ .

Non, jamais. La variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$.

Comment savoir si deux variables sont indépendantes ?

Deux variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tout $x$ et $y$ , $P(X=x \cap Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y)$ .

💡 À retenir : L'indépendance est une condition forte.

Deux variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tout $x$ et $y$, $P(X=x \cap Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y)$.

💡 À retenir : L'indépendance est une condition forte.

Quelle est la différence entre tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, les probabilités restent constantes (loi binomiale possible). Sans remise, les probabilités changent (loi hypergéométrique, souvent hors programme).

💡 À retenir : Avec remise = Indépendance.

Si X est une constante, quelle est sa variance ?

Si $X=c$ , alors $E(X)=c$ et $E(X^2)=c^2$ . Donc $V(X) = c^2 - c^2 = 0$ .

💡 À retenir : Une constante ne varie pas, donc sa variance est nulle.

Si $X=c$, alors $E(X)=c$ et $E(X^2)=c^2$. Donc $V(X) = c^2 - c^2 = 0$.

💡 À retenir : Une constante ne varie pas, donc sa variance est nulle.

Comment interpréter l'écart-type ?

C'est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que la variable $X$ .

💡 À retenir : $\sigma(X)$ est plus facile à interpréter que $V(X)$ .

C'est la racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que la variable $X$.

💡 À retenir : $\sigma(X)$ est plus facile à interpréter que $V(X)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

Exercice 1

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Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.5)$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.5)$. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

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Exercice 3

On lance un dé équilibré 4 fois de suite. Soit $X$ le nombre de fois où l'on obtient le chiffre 6. Calculer $P(X=2)$ .

Exercice 3

On lance un dé équilibré 4 fois de suite. Soit $X$ le nombre de fois où l'on obtient le chiffre 6. Calculer $P(X=2)$.

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