Physique · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA (architecture)

Dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$ (avec $q$ en Coulomb, $C$ en Farad, $u_C$ en Volt).
Relation courant-charge : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ .
Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = E$ (charge) ou $u_R + u_C = 0$ (décharge).
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$ .
Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ (charge) avec $\tau = R \cdot C$ .
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité.
Vérifier une solution de type $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ ou $u_C(t) = A e^{-t/\tau}$ .
Déterminer graphiquement $\tau$ par la tangente à l'origine ou par $u_C(\tau) \approx 0,63 E$ .
Calculer l'énergie électrique à un instant donné.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=100 \, \Omega$ et $C=100 \, \mu F$ , alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 \, s$ .
Vérification : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ , on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{RC} e^{-t/RC}$ . En remplaçant dans l'éq. diff : $RC (\frac{E}{RC} e^{-t/RC}) + E(1 - e^{-t/RC}) = E$ . C'est vérifié.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ , $ms$ en $s$ ).
Confondre le sens du courant $i$ avec le signe de $dq/dt$ lors de la décharge ( $i = -dq/dt$ ).
Tracer la tangente à l'origine sans précision.

L'essentiel du cours

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$ (avec $q$ en Coulomb, $C$ en Farad, $u_C$ en Volt).
Relation courant-charge : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = E$ (charge) ou $u_R + u_C = 0$ (décharge).
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$.
Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ (charge) avec $\tau = R \cdot C$.
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité.
Vérifier une solution de type $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ ou $u_C(t) = A e^{-t/\tau}$.
Déterminer graphiquement $\tau$ par la tangente à l'origine ou par $u_C(\tau) \approx 0,63 E$.
Calculer l'énergie électrique à un instant donné.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=100 , \Omega$ et $C=100 , \mu F$, alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 , s$.
Vérification : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$, on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{RC} e^{-t/RC}$. En remplaçant dans l'éq. diff : $RC (\frac{E}{RC} e^{-t/RC}) + E(1 - e^{-t/RC}) = E$. C'est vérifié.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$, $ms$ en $s$).
Confondre le sens du courant $i$ avec le signe de $dq/dt$ lors de la décharge ($i = -dq/dt$).
Tracer la tangente à l'origine sans précision.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dipôle RC

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La constante de temps $\tau$ a pour unité :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le condensateur se décharge instantanément ?

Non, la décharge prend du temps, théoriquement infini, mais pratiquement $5\tau$ .

💡 À retenir : La vitesse dépend du produit $R \cdot C$ .

Non, la décharge prend du temps, théoriquement infini, mais pratiquement $5\tau$.

💡 À retenir : La vitesse dépend du produit $R \cdot C$.

A quoi sert un condensateur dans un circuit ?

Il sert à stocker de l'énergie électrique sous forme de champ électrostatique.
Il permet de filtrer des signaux ou de temporiser un circuit (ex: allumage d'une lampe).

💡 À retenir : Le condensateur est un réservoir d'énergie temporaire.

Kifach n7seb tau ghir mn lgraphique ?

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'instant $t=0$ .
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur maximale $E$ ) donne l'abscisse $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'instant $t=0$.
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur maximale $E$) donne l'abscisse $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Est-ce que le courant i est constant pendant la charge ?

Non, le courant diminue au cours du temps car la tension aux bornes du condensateur augmente, ce qui réduit la différence de potentiel aux bornes de la résistance.

💡 À retenir : $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$ , il décroît exponentiellement.

Non, le courant diminue au cours du temps car la tension aux bornes du condensateur augmente, ce qui réduit la différence de potentiel aux bornes de la résistance.

💡 À retenir : $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$, il décroît exponentiellement.

Chno hiya lfarq bin régime transitoire o régime permanent ?

Régime transitoire : c'est la phase où les grandeurs électriques ( $u_C, i$ ) changent.
Régime permanent : c'est quand $u_C$ devient constante ( $E$ ou $0$ ).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint après environ $5\tau$ .

Régime transitoire : c'est la phase où les grandeurs électriques ($u_C, i$) changent.
Régime permanent : c'est quand $u_C$ devient constante ($E$ ou $0$).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint après environ $5\tau$.

Est-ce que l'énergie est conservée pendant la charge ?

Non, une partie de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ .

💡 À retenir : L'énergie stockée par le condensateur est toujours inférieure à l'énergie fournie par le générateur.

Non, une partie de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$.

💡 À retenir : L'énergie stockée par le condensateur est toujours inférieure à l'énergie fournie par le générateur.

Kifach n3ref wach l'équation diff li khrej li s7i7a ?

Vérifie les dimensions (chaque terme doit être en Volts).
Vérifie si elle respecte la loi d'additivité des tensions ( $u_R + u_C = E$ ).

💡 À retenir : L'équation doit toujours faire apparaître $u_C$ et sa dérivée.

Vérifie les dimensions (chaque terme doit être en Volts).
Vérifie si elle respecte la loi d'additivité des tensions ($u_R + u_C = E$).

💡 À retenir : L'équation doit toujours faire apparaître $u_C$ et sa dérivée.

Pourquoi on utilise une résistance dans le circuit RC ?

La résistance permet de contrôler la vitesse de charge ou de décharge du condensateur. Sans elle, le courant serait théoriquement infini à $t=0$ .

💡 À retenir : La résistance impose la constante de temps $\tau = RC$ .

La résistance permet de contrôler la vitesse de charge ou de décharge du condensateur. Sans elle, le courant serait théoriquement infini à $t=0$.

💡 À retenir : La résistance impose la constante de temps $\tau = RC$.

Est-ce que la capacité C change si on change la tension E ?

Non, la capacité $C$ est une caractéristique physique du condensateur (sa géométrie et le diélectrique). Elle est constante.

💡 À retenir : $C = q/u_C$ , si $u_C$ augmente, $q$ augmente proportionnellement.

Non, la capacité $C$ est une caractéristique physique du condensateur (sa géométrie et le diélectrique). Elle est constante.

💡 À retenir : $C = q/u_C$, si $u_C$ augmente, $q$ augmente proportionnellement.

Comment calculer l'énergie totale dissipée par effet Joule ?

Elle correspond à la différence entre l'énergie fournie par le générateur ( $E_{gen} = E \cdot Q = C \cdot E^2$ ) et l'énergie stockée dans le condensateur ( $E_e = 0,5 \cdot C \cdot E^2$ ).

💡 À retenir : $E_{joule} = 0,5 \cdot C \cdot E^2$ .

Elle correspond à la différence entre l'énergie fournie par le générateur ($E_{gen} = E \cdot Q = C \cdot E^2$) et l'énergie stockée dans le condensateur ($E_e = 0,5 \cdot C \cdot E^2$).

💡 À retenir : $E_{joule} = 0,5 \cdot C \cdot E^2$.

Est-ce que le courant change de sens entre la charge et la décharge ?

Oui, lors de la charge, le courant entre par l'armature positive. Lors de la décharge, le condensateur devient générateur et le courant sort par cette même armature.

💡 À retenir : Le courant change de signe.

Est-ce que uC peut être négatif ?

Dans un circuit RC classique, $u_C$ varie entre $0$ et $E$ (ou $E$ et $0$ ). Il ne devient pas négatif sauf si on inverse les bornes du générateur.

💡 À retenir : $u_C$ suit la polarité imposée par le générateur.

Dans un circuit RC classique, $u_C$ varie entre $0$ et $E$ (ou $E$ et $0$). Il ne devient pas négatif sauf si on inverse les bornes du générateur.

💡 À retenir : $u_C$ suit la polarité imposée par le générateur.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 \, \mu F$ est chargé à travers une résistance $R = 1 \, k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 \, V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer la constante de temps $\tau$ .
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur en régime permanent.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 , \mu F$ est chargé à travers une résistance $R = 1 , k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 , V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer la constante de temps $\tau$.
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur en régime permanent.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On dispose d'un circuit RC. À $t=0$ , le condensateur est chargé sous $E=10V$ . On ferme l'interrupteur pour la décharge. La courbe $u_C(t)$ montre qu'à $t=2 \, ms$ , $u_C = 3,7 \, V$ .

Déterminer la valeur de $\tau$ .
Sachant $C = 10 \, \mu F$ , calculer $R$ .

Exercice 2

On dispose d'un circuit RC. À $t=0$, le condensateur est chargé sous $E=10V$. On ferme l'interrupteur pour la décharge. La courbe $u_C(t)$ montre qu'à $t=2 , ms$, $u_C = 3,7 , V$.

Déterminer la valeur de $\tau$.
Sachant $C = 10 , \mu F$, calculer $R$.

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Exercice 3

Un circuit RC est soumis à un échelon de tension. On demande de démontrer que la solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution de l'équation différentielle.

Exercice 3

Un circuit RC est soumis à un échelon de tension. On demande de démontrer que la solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution de l'équation différentielle.

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