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Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pendule élastique (horizontal) : Équation différentielle : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ . Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Pendule simple : Pour les faibles angles ( $\theta$ en rad), l'équation est : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$ . Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ .
Solution générale : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la 2ème loi de Newton.
Déterminer $T_0$ à partir d'un graphe (distance entre deux crêtes).
Calculer la phase initiale $\varphi$ en utilisant les conditions initiales ( $t=0$ ).

Exemples corrigés

Si $m = 100g$ et $k = 10 N/m$ , alors $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 0,2\pi \approx 0,63 s$ .
Pour un pendule simple de $l = 1m$ , $T_0 = 2\pi \sqrt{1/9,8} \approx 2,0 s$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (masse en kg, longueur en m).
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule élastique.
Confondre la période $T_0$ avec la pulsation $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$ .

L'essentiel du cours

Pendule élastique (horizontal) : Équation différentielle : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$. Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
Pendule simple : Pour les faibles angles ($\theta$ en rad), l'équation est : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$. Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
Solution générale : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la 2ème loi de Newton.
Déterminer $T_0$ à partir d'un graphe (distance entre deux crêtes).
Calculer la phase initiale $\varphi$ en utilisant les conditions initiales ($t=0$).

Exemples corrigés

Si $m = 100g$ et $k = 10 N/m$, alors $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 0,2\pi \approx 0,63 s$.
Pour un pendule simple de $l = 1m$, $T_0 = 2\pi \sqrt{1/9,8} \approx 2,0 s$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (masse en kg, longueur en m).
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule élastique.
Confondre la période $T_0$ avec la pulsation $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)

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Pour un pendule simple, si on double la longueur du fil, la période $T_0$ devient :

❓ Questions fréquentes

Quelle est l'unité de la raideur k ?

L'unité est le Newton par mètre ( $N/m$ ).

💡 À retenir : $F = k \cdot \Delta l$ , donc $k = F / \Delta l$ .

L'unité est le Newton par mètre ($N/m$).

💡 À retenir : $F = k \cdot \Delta l$, donc $k = F / \Delta l$.

Pourquoi dit-on que le pendule simple est un oscillateur "harmonique" ?

Parce que sa position au cours du temps est une fonction sinusoïdale du temps.

💡 À retenir : Toute solution de type $x(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi)$ est harmonique.

Parce que sa position au cours du temps est une fonction sinusoïdale du temps.

💡 À retenir : Toute solution de type $x(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi)$ est harmonique.

Wach l'énergie mécanique katbqa constante f l'oscillateur?

Oui, dans le cas idéal des oscillations libres sans frottements, l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ est constante.

💡 À retenir : $E_m$ se transforme périodiquement entre énergie cinétique et énergie potentielle.

Oui, dans le cas idéal des oscillations libres sans frottements, l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ est constante.

💡 À retenir : $E_m$ se transforme périodiquement entre énergie cinétique et énergie potentielle.

Chno hiya l'far9 bin pendule élastique w pendule simple?

Le pendule élastique dépend de la masse $m$ et de la raideur $k$ du ressort ( $T_0 = 2\pi \sqrt{m/k}$ ).
Le pendule simple dépend de la longueur du fil $l$ et de l'accélération de la pesanteur $g$ ( $T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$ ).

💡 À retenir : Le pendule simple est indépendant de la masse de la bille.

Le pendule élastique dépend de la masse $m$ et de la raideur $k$ du ressort ($T_0 = 2\pi \sqrt{m/k}$).
Le pendule simple dépend de la longueur du fil $l$ et de l'accélération de la pesanteur $g$ ($T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$).

💡 À retenir : Le pendule simple est indépendant de la masse de la bille.

Kifach n7seb l'phase initiale varphi f l'examen?

Utilise l'équation $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$ .
À $t=0$ , on a $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ .
Donc $\cos(\varphi) = \frac{x(0)}{X_m}$ .
Détermine $\varphi$ en regardant la pente de la courbe à $t=0$ (si elle monte, $\varphi < 0$ ).

💡 À retenir : La valeur de $\varphi$ est toujours comprise entre $-\pi$ et $+\pi$ .

Utilise l'équation $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
À $t=0$, on a $x(0) = X_m \cos(\varphi)$.
Donc $\cos(\varphi) = \frac{x(0)}{X_m}$.
Détermine $\varphi$ en regardant la pente de la courbe à $t=0$ (si elle monte, $\varphi < 0$).

💡 À retenir : La valeur de $\varphi$ est toujours comprise entre $-\pi$ et $+\pi$.

Wash l'amplitude kat2atter 3la l'période T0?

Non, pour les oscillations libres non amorties, la période propre $T_0$ est indépendante de l'amplitude (c'est l'isochronisme des petites oscillations).

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que des caractéristiques physiques du système ( $m, k$ ou $l, g$ ).

Non, pour les oscillations libres non amorties, la période propre $T_0$ est indépendante de l'amplitude (c'est l'isochronisme des petites oscillations).

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que des caractéristiques physiques du système ($m, k$ ou $l, g$).

Quelle est la condition pour que le pendule simple soit considéré comme un oscillateur harmonique ?

Il faut que l'angle maximal $\theta_m$ soit petit (généralement $\theta_m < 10^\circ$ ou $0,17$ rad) pour pouvoir utiliser l'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$ .

💡 À retenir : Sans cette approximation, l'équation n'est plus linéaire.

Il faut que l'angle maximal $\theta_m$ soit petit (généralement $\theta_m < 10^\circ$ ou $0,17$ rad) pour pouvoir utiliser l'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$.

💡 À retenir : Sans cette approximation, l'équation n'est plus linéaire.

Comment déterminer la raideur k à partir d'un graphe T0^2 = f(m) ?

L'équation est $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k} \cdot m$ .
La pente de la droite est $a = \frac{4\pi^2}{k}$ .
Donc $k = \frac{4\pi^2}{a}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier les unités sur les axes avant de calculer la pente.

L'équation est $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k} \cdot m$.
La pente de la droite est $a = \frac{4\pi^2}{k}$.
Donc $k = \frac{4\pi^2}{a}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier les unités sur les axes avant de calculer la pente.

Est-ce que le pendule simple oscille dans le vide ?

Oui, et même mieux, car il n'y a pas de frottements dus à l'air, donc les oscillations sont conservatives (l'énergie mécanique se conserve).

💡 À retenir : En réalité, les frottements finissent par arrêter le mouvement.

Comment varie la période T0 si on monte sur la lune ?

La période $T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$ augmente car $g_{lune} < g_{terre}$ . Le pendule oscille plus lentement.

💡 À retenir : $T_0$ est inversement proportionnelle à la racine carrée de $g$ .

La période $T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$ augmente car $g_{lune} < g_{terre}$. Le pendule oscille plus lentement.

💡 À retenir : $T_0$ est inversement proportionnelle à la racine carrée de $g$.

Comment calculer la vitesse maximale d'un pendule élastique ?

On utilise la conservation de l'énergie : $E_m = \frac{1}{2} k X_m^2 = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ . Donc $v_{max} = X_m \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

💡 À retenir : $v_{max} = X_m \cdot \omega_0$ .

On utilise la conservation de l'énergie : $E_m = \frac{1}{2} k X_m^2 = \frac{1}{2} m v_{max}^2$. Donc $v_{max} = X_m \sqrt{\frac{k}{m}}$.

💡 À retenir : $v_{max} = X_m \cdot \omega_0$.

Est-ce que la masse du ressort intervient dans le calcul de T0 ?

Dans le programme du Bac, on considère le ressort comme ayant une masse négligeable devant celle du solide.

💡 À retenir : Si la masse du ressort n'est pas négligeable, la formule change (hors programme).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un pendule élastique est constitué d'un ressort de raideur $k = 20 N/m$ et d'un solide de masse $m = 200 g$ .

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la période propre $T_0$ .
À $t=0$ , le solide est lâché sans vitesse initiale à une élongation $x_0 = 5 cm$ . Déterminer l'équation horaire $x(t)$ .

Exercice 1

Un pendule élastique est constitué d'un ressort de raideur $k = 20 N/m$ et d'un solide de masse $m = 200 g$.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la période propre $T_0$.
À $t=0$, le solide est lâché sans vitesse initiale à une élongation $x_0 = 5 cm$. Déterminer l'équation horaire $x(t)$.

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