Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — TSI

Électrocinétique : Filtrage linéaire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un filtre linéaire est un quadripôle caractérisé par sa fonction de transfert complexe : $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e} = H_0 \cdot \frac{1}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})^n}$

Gain en décibels : $G_{dB} = 20 \log |\underline{H}|$ .
Phase : $\varphi = \arg(\underline{H})$ .
Fréquence de coupure à -3dB : $|\underline{H}(\omega_c)| = \frac{H_0}{\sqrt{2}}$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser le diviseur de tension complexe pour déterminer $\underline{H}(j\omega)$ .
Passer à la forme canonique pour identifier $H_0$ , $\omega_c$ et l'ordre du filtre.
Tracer les asymptotes du diagramme de Bode (pentes en $\pm 20n$ dB/décade).

Exemples corrigés

Exemple : Filtre RC passe-bas. $\underline{H} = \frac{1}{1+jRC\omega}$ .

$H_0 = 1$ , $\omega_c = \frac{1}{RC}$ .
Pour $\omega \ll \omega_c$ , $G_{dB} \approx 0$ . Pour $\omega \gg \omega_c$ , $G_{dB} \approx -20 \log(\frac{\omega}{\omega_c})$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur 20 dans $20 \log |\underline{H}|$ (utiliser 10 par erreur).
Confondre pulsation $\omega$ (rad/s) et fréquence $f$ (Hz).
Ne pas vérifier si le filtre est bien en régime sinusoïdal permanent.

L'essentiel du cours

Un filtre linéaire est un quadripôle caractérisé par sa fonction de transfert complexe : $$\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e} = H_0 \cdot \frac{1}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})^n}$$

Gain en décibels : $G_{dB} = 20 \log |\underline{H}|$.
Phase : $\varphi = \arg(\underline{H})$.
Fréquence de coupure à -3dB : $|\underline{H}(\omega_c)| = \frac{H_0}{\sqrt{2}}$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser le diviseur de tension complexe pour déterminer $\underline{H}(j\omega)$.
Passer à la forme canonique pour identifier $H_0$, $\omega_c$ et l'ordre du filtre.
Tracer les asymptotes du diagramme de Bode (pentes en $\pm 20n$ dB/décade).

Exemples corrigés

Exemple : Filtre RC passe-bas. $\underline{H} = \frac{1}{1+jRC\omega}$.

$H_0 = 1$, $\omega_c = \frac{1}{RC}$.
Pour $\omega \ll \omega_c$, $G_{dB} \approx 0$. Pour $\omega \gg \omega_c$, $G_{dB} \approx -20 \log(\frac{\omega}{\omega_c})$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur 20 dans $20 \log |\underline{H}|$ (utiliser 10 par erreur).
Confondre pulsation $\omega$ (rad/s) et fréquence $f$ (Hz).
Ne pas vérifier si le filtre est bien en régime sinusoïdal permanent.

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🎯 Électrocinétique : Filtrage linéaire

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Pour un filtre passe-bas du 1er ordre, quelle est la pente à haute fréquence ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un filtre passif et actif ?

Un filtre passif ne contient que des composants passifs (R, L, C) et ne nécessite pas d'alimentation externe.
Un filtre actif intègre un composant actif (AOP) et nécessite une alimentation.

💡 À retenir : Les filtres actifs permettent d'éviter l'effet de charge et d'amplifier le signal.

Kifach n7seb pulsation de coupure omegac f'circuit m3a R, L, C ?

D'abord, trouve la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ .
Mets-la sous forme canonique.
La pulsation de coupure est celle où le gain chute de 3dB par rapport au gain maximal.

💡 À retenir : Pour un filtre du 1er ordre, c'est le coefficient devant $j\omega$ .

D'abord, trouve la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$.
Mets-la sous forme canonique.
La pulsation de coupure est celle où le gain chute de 3dB par rapport au gain maximal.

💡 À retenir : Pour un filtre du 1er ordre, c'est le coefficient devant $j\omega$.

Est-ce que le diagramme de Bode est toujours une droite ?

Non, les asymptotes sont des droites, mais la courbe réelle est une courbe lisse qui s'en rapproche.

💡 À retenir : La différence maximale entre l'asymptote et la courbe réelle se situe à la fréquence de coupure.

Chno hiya l'utilité dyal diagramme de Bode ?

Il permet de visualiser rapidement la bande passante et le comportement du filtre (atténuation) sur une large gamme de fréquences.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour caractériser un filtre en électronique.

Comment déterminer l'ordre d'un filtre à partir de son diagramme de Bode ?

Regarde la pente de l'asymptote dans la zone d'atténuation.
Si la pente est de -20 dB/décade, c'est un ordre 1.
Si elle est de -40 dB/décade, c'est un ordre 2.

💡 À retenir : Pente = $-n \times 20$ dB/décade.

Regarde la pente de l'asymptote dans la zone d'atténuation.
Si la pente est de -20 dB/décade, c'est un ordre 1.
Si elle est de -40 dB/décade, c'est un ordre 2.

💡 À retenir : Pente = $-n \times 20$ dB/décade.

Wach l'impédance dyal condensateur katbdel m3a l'fréquence ?

Oui, $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}$ . Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance diminue.

💡 À retenir : À haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit.

Oui, $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}$. Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance diminue.

💡 À retenir : À haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit.

Pourquoi on utilise les décibels ?

Pour compresser des échelles de valeurs très grandes ou très petites en une échelle logarithmique plus lisible.

💡 À retenir : $G_{dB} = 20 \log(V_s/V_e)$ .

Pour compresser des échelles de valeurs très grandes ou très petites en une échelle logarithmique plus lisible.

💡 À retenir : $G_{dB} = 20 \log(V_s/V_e)$.

Comment tracer la phase d'un filtre passe-bas du 1er ordre ?

À basse fréquence, $\varphi \to 0$ .
À la fréquence de coupure, $\varphi = -45^\circ$ .
À haute fréquence, $\varphi \to -90^\circ$ .

💡 À retenir : La phase est toujours négative pour un filtre passif.

À basse fréquence, $\varphi \to 0$.
À la fréquence de coupure, $\varphi = -45^\circ$.
À haute fréquence, $\varphi \to -90^\circ$.

💡 À retenir : La phase est toujours négative pour un filtre passif.

Est-ce que la fréquence de coupure dépend de l'amplitude du signal d'entrée ?

Non, pour un filtre linéaire, la fonction de transfert est indépendante de l'amplitude du signal d'entrée.

💡 À retenir : La linéarité garantit que le rapport $U_s/U_e$ est constant.

Non, pour un filtre linéaire, la fonction de transfert est indépendante de l'amplitude du signal d'entrée.

💡 À retenir : La linéarité garantit que le rapport $U_s/U_e$ est constant.

C'est quoi la bande passante ?

C'est l'intervalle de fréquences où le gain est supérieur ou égal à $G_{max} - 3$ dB.

💡 À retenir : C'est la zone où le signal est transmis avec une atténuation acceptable.

C'est l'intervalle de fréquences où le gain est supérieur ou égal à $G_{max} - 3$ dB.

💡 À retenir : C'est la zone où le signal est transmis avec une atténuation acceptable.

Comment savoir si un filtre est passe-bande ?

Le gain doit être faible aux très basses fréquences et aux très hautes fréquences, et maximal dans une zone intermédiaire.

💡 À retenir : Il possède deux fréquences de coupure.

Est-ce que le déphasage peut être positif ?

Oui, pour un filtre passe-haut, le signal de sortie est en avance de phase sur l'entrée.

💡 À retenir : $\varphi = \arg(\underline{H}) > 0$ pour un passe-haut.

Oui, pour un filtre passe-haut, le signal de sortie est en avance de phase sur l'entrée.

💡 À retenir : $\varphi = \arg(\underline{H}) > 0$ pour un passe-haut.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On considère un filtre RC série (entrée aux bornes de R et C, sortie aux bornes de C). $R=1k\Omega$ , $C=1\mu F$ .

Déterminer $\underline{H}(j\omega)$ .
Calculer $f_c$ en Hz.
Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain.

Exercice 1

On considère un filtre RC série (entrée aux bornes de R et C, sortie aux bornes de C). $R=1k\Omega$, $C=1\mu F$.

Déterminer $\underline{H}(j\omega)$.
Calculer $f_c$ en Hz.
Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain.

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Exercice 2

Soit un filtre RL série (sortie aux bornes de R).

Montrer que c'est un filtre passe-haut.
Déterminer la fréquence de coupure en fonction de R et L.

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Exercice 3

Un filtre possède une fonction $\underline{H} = \frac{j\omega/\omega_0}{1+j\omega/\omega_0}$ .

Identifier le type de filtre.
Calculer le gain pour $\omega = \omega_0$ .

Exercice 3

Un filtre possède une fonction $\underline{H} = \frac{j\omega/\omega_0}{1+j\omega/\omega_0}$.

Identifier le type de filtre.
Calculer le gain pour $\omega = \omega_0$.

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