Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — TSI

Électromagnétisme : Énergétique des ondes électromagnétiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Vecteur de Poynting : $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}$ . Il représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.
Densité volumique d'énergie : $u = \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ .
Relation locale : $\frac{\partial u}{\partial t} + \text{div}(\vec{\Pi}) = 0$ (bilan d'énergie local).
Intensité (ou éclairement) : $I = \langle \Pi \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer la moyenne temporelle d'une grandeur sinusoïdale : $\langle \cos^2(\omega t + \phi) \rangle = 1/2$ .
Appliquer le théorème de Poynting pour calculer la puissance traversant une surface.
Utiliser la relation $\vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u} \wedge \vec{E}$ pour simplifier le produit vectoriel de Poynting.

Exemples corrigés

Calcul de l'intensité : Pour une onde plane $E = E_0 \cos(\omega t - kz)$ , on a $\Pi = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz)$ . La moyenne est $I = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $1/2$ lors du passage de la valeur crête à la valeur moyenne.
Confondre la densité volumique d'énergie ( $J/m^3$ ) avec l'intensité ( $W/m^2$ ).
Oublier que $\vec{\Pi}$ est orienté selon la direction de propagation $\vec{k}$ .

L'essentiel du cours

Vecteur de Poynting : $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}$. Il représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.
Densité volumique d'énergie : $u = \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$.
Relation locale : $\frac{\partial u}{\partial t} + \text{div}(\vec{\Pi}) = 0$ (bilan d'énergie local).
Intensité (ou éclairement) : $I = \langle \Pi \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$.

Méthodes à maîtriser

Calculer la moyenne temporelle d'une grandeur sinusoïdale : $\langle \cos^2(\omega t + \phi) \rangle = 1/2$.
Appliquer le théorème de Poynting pour calculer la puissance traversant une surface.
Utiliser la relation $\vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u} \wedge \vec{E}$ pour simplifier le produit vectoriel de Poynting.

Exemples corrigés

Calcul de l'intensité : Pour une onde plane $E = E_0 \cos(\omega t - kz)$, on a $\Pi = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz)$. La moyenne est $I = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $1/2$ lors du passage de la valeur crête à la valeur moyenne.
Confondre la densité volumique d'énergie ($J/m^3$) avec l'intensité ($W/m^2$).
Oublier que $\vec{\Pi}$ est orienté selon la direction de propagation $\vec{k}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Électromagnétisme : Énergétique des ondes électromagnétiques

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Le vecteur de Poynting est défini par :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce que le vecteur de Poynting représente physiquement ?

Le vecteur de Poynting $\vec{\Pi}$ représente le flux d'énergie électromagnétique par unité de surface et par unité de temps. Il indique la direction et le sens du transfert d'énergie de l'onde.

💡 À retenir : La direction de $\vec{\Pi}$ est toujours celle de la propagation de l'onde.

Kifach n7seb l'intensite dyal l'onde ila 3tani ghir l'champ electrique E0 ?

Utilisez la formule $I = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$ .
Remplacez $\mu_0 \approx 4\pi \cdot 10^{-7}$ SI et $c \approx 3 \cdot 10^8$ m/s.

💡 À retenir : L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique.

Utilisez la formule $I = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$.
Remplacez $\mu_0 \approx 4\pi \cdot 10^{-7}$ SI et $c \approx 3 \cdot 10^8$ m/s.

💡 À retenir : L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique.

Est-ce que le champ magnétique transporte de l'énergie ?

Oui, dans une onde électromagnétique, l'énergie est répartie équitablement entre le champ électrique et le champ magnétique.

💡 À retenir : $u_E = u_B = \frac{1}{2} u_{total}$ .

Oui, dans une onde électromagnétique, l'énergie est répartie équitablement entre le champ électrique et le champ magnétique.

💡 À retenir : $u_E = u_B = \frac{1}{2} u_{total}$.

Wach l'energie katbqa m7foudha f l'milieu ?

Oui, le théorème de Poynting exprime la conservation de l'énergie : la variation d'énergie dans un volume est égale au flux d'énergie qui traverse sa surface.

💡 À retenir : $\frac{dU}{dt} = - \iint \vec{\Pi} \cdot d\vec{S}$ .

Oui, le théorème de Poynting exprime la conservation de l'énergie : la variation d'énergie dans un volume est égale au flux d'énergie qui traverse sa surface.

💡 À retenir : $\frac{dU}{dt} = - \iint \vec{\Pi} \cdot d\vec{S}$.

Quelle est l'unité de la densité volumique d'énergie ?

L'unité est le Joule par mètre cube ( $J/m^3$ ).

💡 À retenir : C'est une énergie rapportée à un volume.

L'unité est le Joule par mètre cube ($J/m^3$).

💡 À retenir : C'est une énergie rapportée à un volume.

Kifach n7seb l'energie li katdoz f wahed l'surface S f wahed l'waqt Delta t ?

Calculez l'intensité $I = \langle \Pi \rangle$ .
Multipliez par la surface $S$ et la durée $\Delta t$ : $E = I \cdot S \cdot \Delta t$ .

💡 À retenir : $E = P \cdot \Delta t$ où $P$ est la puissance.

Calculez l'intensité $I = \langle \Pi \rangle$.
Multipliez par la surface $S$ et la durée $\Delta t$ : $E = I \cdot S \cdot \Delta t$.

💡 À retenir : $E = P \cdot \Delta t$ où $P$ est la puissance.

Pourquoi utilise-t-on la moyenne temporelle pour l'intensité ?

Parce que les fréquences des ondes électromagnétiques sont très élevées, nos détecteurs mesurent une valeur moyenne sur le temps et non l'oscillation instantanée.

💡 À retenir : La moyenne temporelle est la valeur mesurable.

Le vecteur de Poynting dépend-il de la distance à la source ?

Oui, pour une onde sphérique, l'intensité diminue en $1/r^2$ car l'énergie se répartit sur une surface de plus en plus grande.

💡 À retenir : Conservation de la puissance totale rayonnée.

Oui, pour une onde sphérique, l'intensité diminue en $1/r^2$ car l'énergie se répartit sur une surface de plus en plus grande.

💡 À retenir : Conservation de la puissance totale rayonnée.

Est-ce que le vecteur de Poynting est toujours colinéaire au vecteur d'onde ?

Oui, pour une onde plane progressive dans le vide, $\vec{\Pi}$ est colinéaire au vecteur d'onde $\vec{k}$ .

💡 À retenir : $\vec{\Pi} = I \cdot \vec{u}$ où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de propagation.

Oui, pour une onde plane progressive dans le vide, $\vec{\Pi}$ est colinéaire au vecteur d'onde $\vec{k}$.

💡 À retenir : $\vec{\Pi} = I \cdot \vec{u}$ où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de propagation.

Quelle est la relation entre E et B pour le calcul de Pi ?

On utilise $B = E/c$ . Donc $\Pi = \frac{E^2}{\mu_0 c}$ .

💡 À retenir : Cette simplification n'est valable que dans le vide.

On utilise $B = E/c$. Donc $\Pi = \frac{E^2}{\mu_0 c}$.

💡 À retenir : Cette simplification n'est valable que dans le vide.

Wach l'intensite katbdel ila tbeddel l'milieu ?

Oui, car la vitesse $c$ et l'impédance du milieu changent.

💡 À retenir : L'intensité dépend des propriétés diélectriques du milieu.

Oui, car la vitesse $c$ et l'impédance du milieu changent.

💡 À retenir : L'intensité dépend des propriétés diélectriques du milieu.

Comment varie l'énergie si l'amplitude du champ double ?

Comme $I \propto E_0^2$ , si l'amplitude double, l'intensité est multipliée par 4.

💡 À retenir : La dépendance est quadratique.

Comme $I \propto E_0^2$, si l'amplitude double, l'intensité est multipliée par 4.

💡 À retenir : La dépendance est quadratique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique se propage dans le vide. Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{e}_x$ .

Déterminer le champ magnétique $\vec{B}(z,t)$ .
Calculer le vecteur de Poynting $\vec{\Pi}$ .
Calculer l'intensité moyenne $I$ . Données : $E_0 = 100 \, V/m$ .

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique se propage dans le vide. Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{e}_x$.

Déterminer le champ magnétique $\vec{B}(z,t)$.
Calculer le vecteur de Poynting $\vec{\Pi}$.
Calculer l'intensité moyenne $I$. Données : $E_0 = 100 , V/m$.

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Exercice 2

Une antenne émet une puissance totale $P = 100 \, W$ de manière isotrope. Calculer l'intensité à une distance $r = 10 \, m$ .

Exercice 2

Une antenne émet une puissance totale $P = 100 , W$ de manière isotrope. Calculer l'intensité à une distance $r = 10 , m$.

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Exercice 3

Calculer la densité volumique d'énergie moyenne $\langle u \rangle$ pour l'onde de l'exercice 1.

Exercice 3

Calculer la densité volumique d'énergie moyenne $\langle u \rangle$ pour l'onde de l'exercice 1.

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