Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — TSI

Électrocinétique : Régimes transitoires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dipôle RC : Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = RC$ . Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ .
Dipôle RL : Équation différentielle : $\tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$ avec $\tau = L/R$ . Solution : $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ .
Circuit RLC série : Équation différentielle : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ .
Régimes RLC : Dépendent du discriminant de l'équation caractéristique. Si $R^2 > 4L/C$ (apériodique), $R^2 = 4L/C$ (critique), $R^2 < 4L/C$ (pseudo-périodique).

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions (loi des mailles).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur à $63\%$ .
Analyse énergétique : Savoir exprimer $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Pour un circuit RC, si $R=1k\Omega$ et $C=10\mu F$ , alors $\tau = 10^3 \times 10 \times 10^{-6} = 10^{-2} s$ .
Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins dans la loi d'Ohm pour la bobine ( $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ ).
Confondre la charge $q$ et la tension $u_C$ ( $q = C u_C$ ).
Négliger la résistance interne $r$ de la bobine dans les calculs.

L'essentiel du cours

Dipôle RC : Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = RC$. Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$.
Dipôle RL : Équation différentielle : $\tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$ avec $\tau = L/R$. Solution : $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$.
Circuit RLC série : Équation différentielle : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.
Régimes RLC : Dépendent du discriminant de l'équation caractéristique. Si $R^2 > 4L/C$ (apériodique), $R^2 = 4L/C$ (critique), $R^2 < 4L/C$ (pseudo-périodique).

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions (loi des mailles).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur à $63%$.
Analyse énergétique : Savoir exprimer $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Pour un circuit RC, si $R=1k\Omega$ et $C=10\mu F$, alors $\tau = 10^3 \times 10 \times 10^{-6} = 10^{-2} s$.
Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins dans la loi d'Ohm pour la bobine ($u_L = L \frac{di}{dt} + ri$).
Confondre la charge $q$ et la tension $u_C$ ($q = C u_C$).
Négliger la résistance interne $r$ de la bobine dans les calculs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Électrocinétique : Régimes transitoires

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Dans un circuit RC, la constante de temps $\tau$ représente :

❓ Questions fréquentes

Quelle est la valeur de uC à t = tau lors de la charge ?

$u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$ .

💡 À retenir : C'est la méthode graphique classique pour trouver $\tau$ .

$u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$.

💡 À retenir : C'est la méthode graphique classique pour trouver $\tau$.

Comment calculer l'énergie maximale stockée dans un condensateur ?

Utiliser la formule $E_{e,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2$ .

💡 À retenir : $U_{max}$ est la tension en régime permanent.

Utiliser la formule $E_{e,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2$.

💡 À retenir : $U_{max}$ est la tension en régime permanent.

Est-ce que le courant i est continu dans une bobine ?

Oui, l'intensité du courant traversant une bobine ne peut pas varier brutalement.

💡 À retenir : La continuité de $i$ est une propriété fondamentale de la bobine.

Oui, l'intensité du courant traversant une bobine ne peut pas varier brutalement.

💡 À retenir : La continuité de $i$ est une propriété fondamentale de la bobine.

Comment déterminer L si on connaît T0 et C ?

Utiliser $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Élever au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 LC$ .
Isoler $L$ : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Bien convertir les unités en système international (Farads, Henries, Secondes).

Utiliser $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
Élever au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 LC$.
Isoler $L$ : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Bien convertir les unités en système international (Farads, Henries, Secondes).

Kifach n7seb tau men l'mbyana (graphe) ila makanch l'mماس (tangente) ?

Chof l'qima l'qouswa (valeur maximale) dyal l'tension $U_{max}$ .
Hseb $0,63 \times U_{max}$ .
Qelleb 3la had l'qima f l'mbyana.
L'waqt li kaywafiq had l'qima howa $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la valeur finale en régime de charge.

Chof l'qima l'qouswa (valeur maximale) dyal l'tension $U_{max}$.
Hseb $0,63 \times U_{max}$.
Qelleb 3la had l'qima f l'mbyana.
L'waqt li kaywafiq had l'qima howa $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la valeur finale en régime de charge.

Est-ce que la constante de temps tau change si on augmente la tension E ?

Non, $\tau$ ne dépend que des paramètres du circuit ( $R$ , $C$ ou $L$ ). Elle est indépendante de la tension $E$ appliquée.

💡 À retenir : $\tau$ est une caractéristique intrinsèque du dipôle, pas de la source.

Non, $\tau$ ne dépend que des paramètres du circuit ($R$, $C$ ou $L$). Elle est indépendante de la tension $E$ appliquée.

💡 À retenir : $\tau$ est une caractéristique intrinsèque du dipôle, pas de la source.

Chno lferq bin régime apériodique o régime pseudo-périodique f RLC ?

Régime apériodique : La résistance $R$ est grande, le système revient à l'équilibre sans osciller.
Régime pseudo-périodique : La résistance $R$ est faible, le système oscille avec une amplitude qui diminue au cours du temps.

💡 À retenir : L'amortissement est lié à la dissipation d'énergie par effet Joule.

Régime apériodique : La résistance $R$ est grande, le système revient à l'équilibre sans osciller.
Régime pseudo-périodique : La résistance $R$ est faible, le système oscille avec une amplitude qui diminue au cours du temps.

💡 À retenir : L'amortissement est lié à la dissipation d'énergie par effet Joule.

Comment démontrer l'équation différentielle d'un circuit RLC ?

Appliquer la loi des mailles : $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Remplacer par les expressions : $L \frac{di}{dt} + Ri + u_C = 0$ .
Utiliser $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$ .
Substituer pour obtenir l'équation en $u_C$ .

💡 À retenir : Toujours exprimer toutes les variables en fonction de $u_C$ ou $i$ .

Appliquer la loi des mailles : $u_L + u_R + u_C = 0$.
Remplacer par les expressions : $L \frac{di}{dt} + Ri + u_C = 0$.
Utiliser $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$.
Substituer pour obtenir l'équation en $u_C$.

💡 À retenir : Toujours exprimer toutes les variables en fonction de $u_C$ ou $i$.

Kifach n3ref wach l'bobine idéale awla la ?

Une bobine est idéale si sa résistance interne $r = 0$ . Si l'énoncé donne une valeur pour $r$ , elle n'est pas idéale et il faut inclure $r$ dans les calculs de résistance totale ( $R_{tot} = R + r$ ).

💡 À retenir : Toujours vérifier si $r$ est donnée dans les données.

Une bobine est idéale si sa résistance interne $r = 0$. Si l'énoncé donne une valeur pour $r$, elle n'est pas idéale et il faut inclure $r$ dans les calculs de résistance totale ($R_{tot} = R + r$).

💡 À retenir : Toujours vérifier si $r$ est donnée dans les données.

Quelle est la dimension de tau ?

La dimension de $\tau$ est celle d'un temps $[T]$ .

💡 À retenir : $RC$ et $L/R$ ont la dimension d'un temps.

La dimension de $\tau$ est celle d'un temps $[T]$.

💡 À retenir : $RC$ et $L/R$ ont la dimension d'un temps.

Est-ce que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC réel ?

Non, l'énergie totale diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule dans la résistance $R$ (dissipation sous forme de chaleur).

💡 À retenir : $E_{tot} = E_e + E_m$ . Si $R \neq 0$ , $dE_{tot}/dt < 0$ .

Non, l'énergie totale diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule dans la résistance $R$ (dissipation sous forme de chaleur).

💡 À retenir : $E_{tot} = E_e + E_m$. Si $R \neq 0$, $dE_{tot}/dt < 0$.

Pourquoi on dit "pseudo-période" et pas "période" ?

Parce que le système n'est pas strictement périodique : l'amplitude diminue à chaque oscillation à cause de l'amortissement.

💡 À retenir : La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à la période propre $T_0$ .

Parce que le système n'est pas strictement périodique : l'amplitude diminue à chaque oscillation à cause de l'amortissement.

💡 À retenir : La pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à la période propre $T_0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \mu F$ , initialement déchargé, est chargé à travers une résistance $R = 1 k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Vérifier que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution.
Calculer $\tau$ et l'énergie stockée à $t = 2\tau$ .

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \mu F$, initialement déchargé, est chargé à travers une résistance $R = 1 k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Vérifier que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution.
Calculer $\tau$ et l'énergie stockée à $t = 2\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une bobine d'inductance $L = 0,5 H$ et de résistance $r = 10 \Omega$ est placée en série avec un conducteur ohmique $R = 90 \Omega$ et un générateur $E = 12 V$ .

Déterminer l'intensité du courant en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$ .
Écrire l'expression de $i(t)$ .

Exercice 2

Une bobine d'inductance $L = 0,5 H$ et de résistance $r = 10 \Omega$ est placée en série avec un conducteur ohmique $R = 90 \Omega$ et un générateur $E = 12 V$.

Déterminer l'intensité du courant en régime permanent.
Calculer la constante de temps $\tau$.
Écrire l'expression de $i(t)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un circuit RLC série a $L = 0,1 H$ , $C = 10 \mu F$ et $R = 20 \Omega$ .

Calculer la période propre $T_0$ .
Le régime est-il périodique, pseudo-périodique ou apériodique ? Justifier.
Comment modifier $R$ pour obtenir un régime critique ?

Exercice 3

Un circuit RLC série a $L = 0,1 H$, $C = 10 \mu F$ et $R = 20 \Omega$.

Calculer la période propre $T_0$.
Le régime est-il périodique, pseudo-périodique ou apériodique ? Justifier.
Comment modifier $R$ pour obtenir un régime critique ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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