Mécanique du solide : Cinématique du solide

C'est un outil mathématique qui regroupe le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ et le champ des vitesses d'un solide. Il permet de caractériser entièrement le mouvement du solide à un instant $t$.

💡 À retenir : Le torseur est défini en un point $A$ par ${ \mathcal{V} } = (\vec{\Omega}, \vec{V}(A))$.

1. Tu utilises la relation $\vec{V}(B) - \vec{V}(A) = \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$.
2. Tu projettes cette équation sur les axes.
3. Attention, cette méthode ne donne pas $\vec{\Omega}$ de façon unique sans informations supplémentaires sur la direction de $\vec{\Omega}$.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est déterminé par le système d'équations issu du produit vectoriel.

Non, le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ est une caractéristique intrinsèque du mouvement du solide par rapport au référentiel. Il est le même pour tous les points du solide.

💡 À retenir : Seule la vitesse $\vec{V}(A)$ dépend du point choisi pour définir le torseur.

C'est la propriété fondamentale du champ des vitesses d'un solide : pour deux points $A$ et $B$, le produit scalaire $\vec{V}(A) \cdot \vec{AB}$ est égal à $\vec{V}(B) \cdot \vec{AB}$.

💡 À retenir : Cela permet de vérifier la cohérence d'un champ de vitesses donné.

On utilise la formule de dérivation composée : $\left( \frac{d\vec{u}}{dt} \right){R} = \left( \frac{d\vec{u}}{dt} \right){R'} + \vec{\Omega}_{R'/R} \wedge \vec{u}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme de transport $\vec{\Omega} \wedge \vec{u}$.

Oui, dans un mouvement de translation, tous les points ont la même vitesse, donc $\vec{V}(A) = \vec{V}(B)$, ce qui implique $\vec{\Omega} \wedge \vec{AB} = \vec{0}$ pour tout $A, B$, donc $\vec{\Omega} = \vec{0}$.

💡 À retenir : Translation = vecteur rotation nul.

C'est le point $I$ du plan de mouvement où la vitesse est nulle à l'instant $t$ : $\vec{V}(I) = \vec{0}$.

💡 À retenir : Le CIR n'est pas forcément fixe au cours du temps.

On utilise la matrice de passage $P$ entre les deux bases : $\vec{\Omega}{base2} = P \cdot \vec{\Omega}{base1}$.

💡 À retenir : Bien définir les angles d'Euler pour construire la matrice.

Le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ est un invariant du torseur, mais le vecteur vitesse $\vec{V}(A)$ change si on change le point de réduction $A$.

💡 À retenir : $\vec{\Omega}$ est le "résultant" du torseur.

Parce que la rotation d'un solide rigide autour d'un point fixe est décrite par une rotation infinitésimale représentée par un vecteur axial.

💡 À retenir : Le produit vectoriel traduit l'aspect géométrique de la rotation.

Oui, si le point appartient à l'axe de rotation instantané (ou est le CIR dans un mouvement plan).

💡 À retenir : $\vec{V}(M) = \vec{\Omega} \wedge \vec{IM}$ où $I$ est sur l'axe.

Oui, elle est toujours vraie pour tout solide indéformable dans n'importe quel référentiel.

💡 À retenir : C'est la définition même du solide rigide.