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Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — TSI

Mécanique du solide : Cinétique et dynamique du solide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le torseur cinétique en un point $A$ est défini par : $$\mathcal{C}_S = \begin{Bmatrix} \vec{P} = m\vec{v}_G \ \vec{\sigma}_A = \int_S \vec{AM} \wedge \vec{v}_M dm \end{Bmatrix}$$ Le torseur dynamique est défini par : $$\mathcal{D}S = \begin{Bmatrix} \vec{F}{ext} = m\vec{a}_G \ \vec{\delta}_A = \int_S \vec{AM} \wedge \vec{a}_M dm \end{Bmatrix}$$ L'énergie cinétique d'un solide est : $E_c = \frac{1}{2}m v_G^2 + \frac{1}{2}\vec{\Omega} \cdot \vec{\sigma}_G$.

Méthodes à maîtriser

  1. Calcul du moment d'inertie : Utiliser le théorème de Huygens $J_\Delta = J_G + md^2$.
  2. Application du TMC : Projeter la relation vectorielle $\frac{d\vec{\sigma}_A}{dt} = \sum \vec{M}_A(\vec{F})$ sur l'axe de rotation.
  3. Bilan énergétique : Utiliser le théorème de l'énergie cinétique $\Delta E_c = \sum W(\vec{F})$.

Exemples corrigés

  • Rotation autour d'un axe fixe : $\vec{\sigma}\Delta = J\Delta \vec{\Omega}$. Le TMC devient $J_\Delta \ddot{\theta} = \sum M_\Delta(\vec{F})$.
  • Translation : $\vec{\sigma}_G = \vec{0}$ et $\vec{\delta}_G = m\vec{a}_G$.

Erreurs fréquentes

  • Oublier le terme de transport dans le calcul du moment cinétique.
  • Confondre le moment d'inertie par rapport à un point et par rapport à un axe.
  • Négliger le signe dans la projection du moment des forces.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Mécanique du solide : Cinétique et dynamique du solide

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Le moment d'inertie d'un solide dépend de :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-moment d'inertie ila kan l-jism mourakkab?
  1. Décompose le solide en sous-parties simples (cylindres, tiges, sphères).
  2. Calcule le moment d'inertie de chaque partie par rapport à son propre centre de gravité $G_i$.
  3. Utilise le théorème de Huygens pour transporter chaque moment vers l'axe de rotation commun.
  4. Fais la somme algébrique des moments obtenus : $J_{total} = \sum J_i$.

💡 À retenir : Le moment d'inertie est une grandeur additive, mais seulement si tous les moments sont calculés par rapport au même axe.

Quelle est la différence entre le torseur cinétique et dynamique ?
  1. Le torseur cinétique décrit l'état de mouvement du solide à un instant $t$ (quantité de mouvement et moment cinétique).
  2. Le torseur dynamique décrit l'évolution de ce mouvement sous l'effet des forces (résultante dynamique et moment dynamique).
  3. Mathématiquement, le torseur dynamique est la dérivée temporelle du torseur cinétique dans un référentiel galiléen.

💡 À retenir : Le torseur cinétique est lié à la vitesse, le dynamique à l'accélération.

Chno hiya l-farq bin l-mouassir d-l-qossour o l-3azm d-l-qossour?
  1. Le moment d'inertie ($J$) est un scalaire qui dépend de l'axe de rotation choisi.
  2. L'opérateur d'inertie est un tenseur (matrice) qui caractérise la répartition des masses du solide indépendamment de tout axe.
  3. Le moment d'inertie par rapport à un axe $\vec{u}$ se déduit de l'opérateur par la relation $J_\Delta = \vec{u} \cdot (\overline{\overline{I}}_G \vec{u})$.

💡 À retenir : L'opérateur est une propriété intrinsèque du solide, le moment d'inertie est une valeur projetée.

Comment appliquer le TMC pour un solide en rotation ?
  1. Identifier l'axe de rotation fixe $\Delta$.
  2. Calculer le moment cinétique par rapport à cet axe : $\sigma_\Delta = J_\Delta \cdot \dot{\theta}$.
  3. Calculer la somme des moments des forces extérieures par rapport à $\Delta$.
  4. Appliquer : $J_\Delta \cdot \ddot{\theta} = \sum M_\Delta(\vec{F})$.

💡 À retenir : Toujours projeter sur l'axe de rotation pour obtenir une équation scalaire.

Wach l-energie cinetique katbeddel ila ghayarna l-noqta d-l-hisab?
  1. Non, l'énergie cinétique est une grandeur scalaire indépendante du point de calcul.
  2. La formule de Koenig $E_c = \frac{1}{2}mv_G^2 + \frac{1}{2}\vec{\Omega} \cdot \vec{\sigma}_G$ est universelle.
  3. Elle sépare l'énergie de translation (du centre de masse) et l'énergie de rotation (propre).

💡 À retenir : L'énergie cinétique est un invariant scalaire pour un solide donné.

Pourquoi utilise-t-on le référentiel barycentrique ?
  1. Il simplifie les calculs car la résultante cinétique y est nulle ($\vec{P}^* = \vec{0}$).
  2. Il permet d'isoler le mouvement de rotation propre du solide autour de son centre de masse.
  3. C'est le référentiel où l'expression de l'énergie cinétique est la plus simple (formule de Koenig).

💡 À retenir : Le référentiel barycentrique est le "cœur" du mouvement du solide.

Comment calculer le moment dynamique d'un solide en rotation ?
  1. Si la rotation est autour d'un axe fixe $\Delta$, le moment dynamique est $\vec{\delta}\Delta = J\Delta \ddot{\theta} \vec{u} + \vec{\Omega} \wedge (J_\Delta \vec{\Omega})$.
  2. Si l'axe est un axe de symétrie, le second terme s'annule.
  3. Dans le cas général, il faut dériver le vecteur moment cinétique par rapport au temps.

💡 À retenir : $\vec{\delta}_A = \frac{d\vec{\sigma}_A}{dt} + \vec{v}_A \wedge \vec{P}$.

Est-ce que le théorème de Huygens s'applique à tous les solides ?
  1. Oui, pour le moment d'inertie par rapport à un axe.
  2. Il stipule que $J_\Delta = J_G + md^2$, où $d$ est la distance entre l'axe passant par $G$ et l'axe $\Delta$.
  3. Attention : les deux axes doivent être parallèles.

💡 À retenir : Huygens est indispensable pour changer d'axe de rotation.

Comment traiter les forces de liaison dans le TMC ?
  1. Si l'axe de rotation est fixe, les forces de liaison (réactions d'appui) ont un moment nul par rapport à cet axe.
  2. Cela permet d'éliminer ces forces inconnues des équations du mouvement.
  3. C'est l'avantage majeur du TMC par rapport au PFD.

💡 À retenir : Le choix du point d'application du TMC est stratégique pour simplifier le système.

Quelle est la dimension du moment d'inertie ?
  1. La définition est $J = \int r^2 dm$.
  2. La dimension est donc $[M][L]^2$.
  3. L'unité dans le système international est le $kg \cdot m^2$.

💡 À retenir : Une unité cohérente est la clé pour vérifier ses résultats.

Peut-on appliquer le TMC en tout point ?
  1. Oui, mais la relation est $\frac{d\vec{\sigma}_A}{dt} = \sum \vec{M}_A(\vec{F}) - \vec{v}_A \wedge \vec{P}$.
  2. Si $A$ est un point fixe ou le centre de masse $G$, le terme $\vec{v}_A \wedge \vec{P}$ s'annule.
  3. C'est pour cela qu'on choisit toujours $G$ ou un point fixe.

💡 À retenir : Choisir $G$ ou un point fixe simplifie énormément le calcul.

Est-ce que le moment cinétique est toujours colinéaire au vecteur rotation ?
  1. Non, seulement si l'axe de rotation est un axe principal d'inertie.
  2. Dans le cas général, $\vec{\sigma} = \overline{\overline{I}} \vec{\Omega}$, ce qui peut donner des composantes différentes.
  3. Pour un solide à symétrie de révolution, c'est vrai si l'axe de rotation est l'axe de symétrie.

💡 À retenir : La colinéarité n'est pas une règle générale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un disque homogène de masse $m$ et de rayon $R$, mobile autour d'un axe horizontal passant par son centre $O$, est soumis à un couple moteur constant $C_0$. Le disque est initialement au repos.

  1. Déterminer le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation.
  2. Appliquer le TMC pour trouver l'accélération angulaire $\ddot{\theta}$.
  3. En déduire la vitesse angulaire $\dot{\theta}(t)$.
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Exercice 2

Une tige homogène de longueur $L$ et de masse $m$ peut tourner autour d'une extrémité fixe $O$. Elle est lâchée sans vitesse initiale depuis une position horizontale.

  1. Calculer le moment d'inertie de la tige par rapport à $O$.
  2. Établir l'équation différentielle du mouvement en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
  3. Déterminer la vitesse angulaire au passage par la position verticale.
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Exercice 3

Un solide est composé d'une tige de masse $m$ et longueur $L$ soudée à une sphère de masse $M$ et rayon $R$ à son extrémité. Le système tourne autour de l'autre extrémité de la tige.

  1. Calculer le moment d'inertie total $J_{tot}$ par rapport à l'axe de rotation.
  2. Si le système est soumis à un frottement visqueux $M_f = -k\dot{\theta}$, écrire l'équation différentielle du mouvement.
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