Mathématiques · 2ème Année Collège

مبرهنة فيتاغورس

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ La réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle $ABC$ , on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors ce triangle est rectangle en $A$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer une longueur : Identifier l'hypoténuse, écrire la formule, remplacer les valeurs connues, calculer les carrés, additionner ou soustraire, puis utiliser la racine carrée.
Démontrer qu'un triangle est rectangle : Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés. Si les résultats sont égaux, le triangle est rectangle.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=3$ et $AC=4$ . Calculer $BC$ . $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Donc $BC = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple 2 : Soit $DEF$ avec $DE=5, DF=12, EF=13$ . Est-il rectangle ? $EF^2 = 13^2 = 169$ . $DE^2 + DF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Puisque $EF^2 = DE^2 + DF^2$ , alors $DEF$ est rectangle en $D$ .

Erreurs fréquentes

Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
Confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit.
Oublier d'écrire les carrés ( $AB^2$ au lieu de $AB$ ).
Ne pas justifier que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème.

L'essentiel du cours

Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ La réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle $ABC$, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors ce triangle est rectangle en $A$.

Méthodes à maîtriser

Calculer une longueur : Identifier l'hypoténuse, écrire la formule, remplacer les valeurs connues, calculer les carrés, additionner ou soustraire, puis utiliser la racine carrée.
Démontrer qu'un triangle est rectangle : Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés. Si les résultats sont égaux, le triangle est rectangle.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=3$ et $AC=4$. Calculer $BC$. $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $BC = \sqrt{25} = 5$.

Exemple 2 : Soit $DEF$ avec $DE=5, DF=12, EF=13$. Est-il rectangle ? $EF^2 = 13^2 = 169$. $DE^2 + DF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Puisque $EF^2 = DE^2 + DF^2$, alors $DEF$ est rectangle en $D$.

Erreurs fréquentes

Appliquer Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle.
Confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit.
Oublier d'écrire les carrés ($AB^2$ au lieu de $AB$).
Ne pas justifier que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 مبرهنة فيتاغورس

1/4

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , quel est l'hypoténuse ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, quel est l'hypoténuse ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que je dois écrire "d'après le théorème de Pythagore" ?

Oui, c'est obligatoire dans une rédaction rigoureuse pour justifier ton calcul. Les professeurs attendent toujours cette phrase.

💡 À retenir : La justification est aussi importante que le calcul.

Est-ce qu'on peut utiliser Pythagore dans un triangle isocèle ?

Non, pas directement. Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles. Si ton triangle isocèle n'a pas d'angle droit, tu ne peux pas l'utiliser. Cependant, si tu traces la hauteur issue du sommet principal, tu obtiendras deux triangles rectangles, et là, tu pourras utiliser Pythagore.

💡 À retenir : Pythagore = Triangle rectangle uniquement.

Kifach n3ref chkoun howa l'hypoténuse f triangle ?

L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Pour le repérer facilement, cherche l'angle droit (90°) : l'hypoténuse est le côté qui est juste en face de cet angle.

💡 À retenir : L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

Est-ce que le résultat de Pythagore est toujours un nombre entier ?

Non, pas du tout. Le résultat peut être un nombre décimal ou une racine carrée. Par exemple, si $AB=1$ et $AC=1$ , alors $BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ , donc $BC = \sqrt{2}$ .

💡 À retenir : Le résultat est souvent une racine carrée si ce n'est pas un carré parfait.

Non, pas du tout. Le résultat peut être un nombre décimal ou une racine carrée. Par exemple, si $AB=1$ et $AC=1$, alors $BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, donc $BC = \sqrt{2}$.

💡 À retenir : Le résultat est souvent une racine carrée si ce n'est pas un carré parfait.

Chno hiya lfar9 bin théorème direct o l'inverse dyalha ?

Le théorème direct sert à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle quand on connaît les longueurs des trois côtés.

💡 À retenir : Direct = on cherche une longueur ; Réciproque = on cherche la nature du triangle.

Kifach n7seb l'hypoténuse ila 3ndna dila3 wahed o l'autre dila3 ?

Tu écris la formule : $Hypoténuse^2 = Côté1^2 + Côté2^2$ .
Tu remplaces les valeurs.
Tu calcules la somme.
Tu prends la racine carrée du résultat.

💡 À retenir : Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés.

Tu écris la formule : $Hypoténuse^2 = Côté1^2 + Côté2^2$.
Tu remplaces les valeurs.
Tu calcules la somme.
Tu prends la racine carrée du résultat.

💡 À retenir : Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés.

Est-ce que je peux utiliser Pythagore si je connais seulement deux côtés ?

Oui, si tu sais que le triangle est rectangle. Si tu cherches l'hypoténuse, tu fais $a^2+b^2$ . Si tu cherches un côté de l'angle droit, tu fais $Hypoténuse^2 - CôtéConnu^2$ .

💡 À retenir : On a toujours besoin de deux côtés pour trouver le troisième.

Oui, si tu sais que le triangle est rectangle. Si tu cherches l'hypoténuse, tu fais $a^2+b^2$. Si tu cherches un côté de l'angle droit, tu fais $Hypoténuse^2 - CôtéConnu^2$.

💡 À retenir : On a toujours besoin de deux côtés pour trouver le troisième.

Est-ce que l'ordre des lettres dans le triangle change la formule ?

Non, la formule reste la même, mais il faut bien identifier l'hypoténuse. Si le triangle est $MNP$ rectangle en $M$ , alors $NP$ est l'hypoténuse, donc $NP^2 = MN^2 + MP^2$ .

💡 À retenir : Identifie toujours le sommet de l'angle droit en premier.

Non, la formule reste la même, mais il faut bien identifier l'hypoténuse. Si le triangle est $MNP$ rectangle en $M$, alors $NP$ est l'hypoténuse, donc $NP^2 = MN^2 + MP^2$.

💡 À retenir : Identifie toujours le sommet de l'angle droit en premier.

Pourquoi on met le carré sur les côtés ?

Parce que la relation de Pythagore porte sur les aires des carrés construits sur les côtés du triangle. C'est une propriété géométrique fondamentale.

💡 À retenir : La formule est toujours avec des puissances de 2.

Est-ce que le théorème marche pour un triangle rectangle en B ?

Oui, bien sûr. Si le triangle est rectangle en $B$ , alors l'hypoténuse est le côté $AC$ qui est en face de $B$ . La formule devient $AC^2 = AB^2 + BC^2$ .

💡 À retenir : La formule s'adapte selon le sommet de l'angle droit.

Oui, bien sûr. Si le triangle est rectangle en $B$, alors l'hypoténuse est le côté $AC$ qui est en face de $B$. La formule devient $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

💡 À retenir : La formule s'adapte selon le sommet de l'angle droit.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour la racine carrée ?

Oui, tu peux utiliser la calculatrice pour calculer la racine carrée à la fin, mais tu dois écrire les étapes de calcul avant.

💡 À retenir : Montre toujours tes étapes de calcul.

Est-ce que le théorème de Pythagore est valable dans l'espace ? (à vérifier par le professeur)

Oui, le théorème de Pythagore s'applique aussi dans les figures de l'espace (comme dans un pavé droit pour calculer la diagonale d'une face), car on se ramène toujours à un triangle rectangle.

💡 À retenir : Le principe reste identique : chercher le triangle rectangle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $BC=10$ cm. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $BC=10$ cm. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $MNP$ un triangle rectangle en $M$ tel que $MN=5$ cm et $MP=12$ cm. Calculer la longueur $NP$ .

Exercice 2

Soit $MNP$ un triangle rectangle en $M$ tel que $MN=5$ cm et $MP=12$ cm. Calculer la longueur $NP$.

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Exercice 3

Soit $RST$ un triangle rectangle en $R$ tel que $RS=9$ cm et $ST=15$ cm. Calculer la longueur $RT$ .

Exercice 3

Soit $RST$ un triangle rectangle en $R$ tel que $RS=9$ cm et $ST=15$ cm. Calculer la longueur $RT$.

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