Mathématiques · 2ème Année Collège

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Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $(\Delta)$ une droite et $(D)$ une direction (une droite sécante à $(\Delta)$ ). La projection d'un point $M$ sur la droite $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ est le point $M'$ intersection de $(\Delta)$ et de la droite passant par $M$ et parallèle à $(D)$ . Si $(D)$ est perpendiculaire à $(\Delta)$ , on parle de projection orthogonale.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Tracer la droite passant par le point donnée et parallèle à la direction donnée.
Projeter un segment : Projeter les deux extrémités du segment pour obtenir le segment image.
Propriété de conservation : La projection conserve le milieu d'un segment. Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $I'$ (image de $I$ ) est le milieu de $[A'B']$ (images de $A$ et $B$ ).

Exemples corrigés

Exemple : Soit $A$ un point hors de la droite $(\Delta)$ . Construire $A'$ la projection de $A$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ . Solution : On trace la droite passant par $A$ et parallèle à $(D)$ . Le point d'intersection avec $(\Delta)$ est $A'$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la direction de projection avec la droite de projection.
Oublier que si le point appartient déjà à la droite $(\Delta)$ , son image est lui-même.
Tracer une droite qui n'est pas parallèle à la direction donnée.

L'essentiel du cours

Soit $(\Delta)$ une droite et $(D)$ une direction (une droite sécante à $(\Delta)$). La projection d'un point $M$ sur la droite $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ est le point $M'$ intersection de $(\Delta)$ et de la droite passant par $M$ et parallèle à $(D)$. Si $(D)$ est perpendiculaire à $(\Delta)$, on parle de projection orthogonale.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Tracer la droite passant par le point donnée et parallèle à la direction donnée.
Projeter un segment : Projeter les deux extrémités du segment pour obtenir le segment image.
Propriété de conservation : La projection conserve le milieu d'un segment. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $I'$ (image de $I$) est le milieu de $[A'B']$ (images de $A$ et $B$).

Exemples corrigés

Exemple : Soit $A$ un point hors de la droite $(\Delta)$. Construire $A'$ la projection de $A$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$. Solution : On trace la droite passant par $A$ et parallèle à $(D)$. Le point d'intersection avec $(\Delta)$ est $A'$.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction de projection avec la droite de projection.
Oublier que si le point appartient déjà à la droite $(\Delta)$, son image est lui-même.
Tracer une droite qui n'est pas parallèle à la direction donnée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(\Delta)$ est :

❓ Questions fréquentes

Pourquoi on dit "parallèlement à une direction" ?

Parce que pour projeter un point, on doit tracer une droite qui passe par ce point et qui a une direction donnée.

💡 À retenir : La direction définit le chemin de projection.

Est-ce que l'image d'un triangle est un triangle ?

Généralement oui, mais si les trois sommets sont projetés sur une même droite, l'image sera un segment.

💡 À retenir : L'image d'un triangle est un triangle ou un segment.

Est-ce que l'image d'une droite est toujours une droite ?

Oui, sauf si la droite est parallèle à la direction de projection, dans ce cas l'image est la droite $(\Delta)$ elle-même.

💡 À retenir : L'image d'une droite est soit une droite, soit la droite $(\Delta)$ .

Oui, sauf si la droite est parallèle à la direction de projection, dans ce cas l'image est la droite $(\Delta)$ elle-même.

💡 À retenir : L'image d'une droite est soit une droite, soit la droite $(\Delta)$.

C'est quoi la différence entre projection et projection orthogonale ?

La projection se fait selon une direction quelconque $(D)$ .
La projection orthogonale est un cas particulier où la direction $(D)$ est perpendiculaire à la droite $(\Delta)$ .

💡 À retenir : La projection orthogonale utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire.

La projection se fait selon une direction quelconque $(D)$.
La projection orthogonale est un cas particulier où la direction $(D)$ est perpendiculaire à la droite $(\Delta)$.

💡 À retenir : La projection orthogonale utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire.

Kifach n3ref wach l'is9at 7afad 3la l'milieu ?

Oui, l'is9at kay7afad 3la l'milieu. Ila kan $I$ howa l'milieu dyal $[AB]$ , alors $I'$ (sowrat $I$ ) ghadi ykon howa l'milieu dyal $[A'B']$ (sowar dyal $A$ o $B$ ).

💡 À retenir : L'is9at kay7afad 3la l'milieu dyal l'qit3a.

Oui, l'is9at kay7afad 3la l'milieu. Ila kan $I$ howa l'milieu dyal $[AB]$, alors $I'$ (sowrat $I$) ghadi ykon howa l'milieu dyal $[A'B']$ (sowar dyal $A$ o $B$).

💡 À retenir : L'is9at kay7afad 3la l'milieu dyal l'qit3a.

Est-ce que l'image d'un segment est toujours un segment ?

Oui, l'image d'un segment $[AB]$ par une projection est le segment $[A'B']$ formé par les images des extrémités. Attention : si $A$ et $B$ sont sur une droite parallèle à la direction, l'image peut être un seul point.

💡 À retenir : L'image d'un segment est un segment ou un point.

wach l'is9at kayghayar l'toul dyal l'qit3a ?

Oui, bzaf dyal l'marrat l'is9at kayghayar l'toul. L'qit3a l'asliya o l'sowra dyalha makaykounouch 3ndhom nafs l'toul, illa ila kanou motawaziyin.

💡 À retenir : L'is9at makay7afadch 3la l'toul dyal l'qit3a.

Si le point M est sur la droite (Delta), quelle est son image ?

L'image du point $M$ est le point $M$ lui-même.

💡 À retenir : Tout point appartenant à la droite de projection est invariant.

L'image du point $M$ est le point $M$ lui-même.

💡 À retenir : Tout point appartenant à la droite de projection est invariant.

Comment tracer la parallèle pour faire la projection ?

Utilise une règle et une équerre. Place l'équerre sur la direction $(D)$ , appuie la règle contre l'autre côté de l'équerre, puis fais glisser l'équerre jusqu'au point $M$ .

💡 À retenir : La précision du tracé est essentielle.

Utilise une règle et une équerre. Place l'équerre sur la direction $(D)$, appuie la règle contre l'autre côté de l'équerre, puis fais glisser l'équerre jusqu'au point $M$.

💡 À retenir : La précision du tracé est essentielle.

wach l'is9at kay7afad 3la l'zawiya ?

Non, l'is9at makay7afadch 3la l'qiyas dyal l'zawiya.

💡 À retenir : L'is9at kayghayar l'chkl dyal l'zawiya.

Kifach n'is9at no9ta M 3la mosta9im (Delta) b'tariqa 3amoudiya ?

7ot l'3arida dyal l'equerre 3la l'mosta9im $(\Delta)$ .
7arrak l'equerre 7ta t'wssel l'no9ta $M$ .
Rsm l'khat l'mou3amid.

💡 À retenir : L'is9at l'3amoudi kaytlab l'equerre.

7ot l'3arida dyal l'equerre 3la l'mosta9im $(\Delta)$.
7arrak l'equerre 7ta t'wssel l'no9ta $M$.
Rsm l'khat l'mou3amid.

💡 À retenir : L'is9at l'3amoudi kaytlab l'equerre.

Est-ce que l'image d'un point peut être en dehors de la droite (Delta) ?

Non, par définition, l'image d'un point par une projection sur $(\Delta)$ appartient toujours à $(\Delta)$ .

💡 À retenir : L'image est toujours sur la droite de projection.

Non, par définition, l'image d'un point par une projection sur $(\Delta)$ appartient toujours à $(\Delta)$.

💡 À retenir : L'image est toujours sur la droite de projection.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(\Delta)$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $(\Delta)$ . Construire $A'$ , le projeté orthogonal de $A$ sur $(\Delta)$ .

Exercice 1

Soit $(\Delta)$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $(\Delta)$. Construire $A'$, le projeté orthogonal de $A$ sur $(\Delta)$.

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Exercice 2

Soit $[AB]$ un segment et $(\Delta)$ une droite. Construire les projetés $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ sur $(\Delta)$ parallèlement à une direction $(D)$ donnée.

Exercice 2

Soit $[AB]$ un segment et $(\Delta)$ une droite. Construire les projetés $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ sur $(\Delta)$ parallèlement à une direction $(D)$ donnée.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ . Soient $A', B', I'$ les projetés respectifs de $A, B, I$ sur une droite $(\Delta)$ selon une direction $(D)$ . Montrer que $I'$ est le milieu de $[A'B']$ .

Exercice 3

Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Soient $A', B', I'$ les projetés respectifs de $A, B, I$ sur une droite $(\Delta)$ selon une direction $(D)$. Montrer que $I'$ est le milieu de $[A'B']$.

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