Mathématiques · 2ème Année Collège

الحساب الحرفي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres pour représenter des nombres inconnus ou variables.

Développer : Transformer un produit en une somme ou une différence.
- $k(a + b) = ka + kb$
- $k(a - b) = ka - kb$
Réduire : Regrouper les termes semblables (ex: $3x + 2x = 5x$ ).
Identités remarquables :
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Méthodes à maîtriser

Pour développer, on distribue le facteur extérieur sur chaque terme entre parenthèses.
Pour factoriser, on cherche le facteur commun dans tous les termes.
Pour réduire, on additionne uniquement les termes de même nature (les $x^2$ avec les $x^2$ , les $x$ avec les $x$ , les nombres avec les nombres).

Exemples corrigés

Développement : $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$ .
Factorisation : $4x + 8 = 4 \times x + 4 \times 2 = 4(x + 2)$ .
Identité : $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le signe lors du développement d'une parenthèse précédée d'un signe « - ».
Confondre $x + x$ (qui fait $2x$ ) avec $x \times x$ (qui fait $x^2$ ).
Ne pas appliquer le double produit dans les identités remarquables (oublier le $2ab$ ).

L'essentiel du cours

Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres pour représenter des nombres inconnus ou variables.

Développer : Transformer un produit en une somme ou une différence.
- $k(a + b) = ka + kb$
- $k(a - b) = ka - kb$
Réduire : Regrouper les termes semblables (ex: $3x + 2x = 5x$).
Identités remarquables :
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Méthodes à maîtriser

Pour développer, on distribue le facteur extérieur sur chaque terme entre parenthèses.
Pour factoriser, on cherche le facteur commun dans tous les termes.
Pour réduire, on additionne uniquement les termes de même nature (les $x^2$ avec les $x^2$, les $x$ avec les $x$, les nombres avec les nombres).

Exemples corrigés

Développement : $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$.
Factorisation : $4x + 8 = 4 \times x + 4 \times 2 = 4(x + 2)$.
Identité : $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le signe lors du développement d'une parenthèse précédée d'un signe « - ».
Confondre $x + x$ (qui fait $2x$) avec $x \times x$ (qui fait $x^2$).
Ne pas appliquer le double produit dans les identités remarquables (oublier le $2ab$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الحساب الحرفي

1/4

Quel est le développement de $2(x - 3)$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre développer et factoriser ?

Développer, c'est passer d'un produit (une multiplication) à une somme (une addition ou soustraction). On "ouvre" les parenthèses.
Factoriser, c'est l'inverse : on passe d'une somme à un produit. On cherche un facteur commun pour "fermer" les parenthèses.

💡 À retenir : Développer = multiplier, Factoriser = mettre en facteur.

Kifach n7seb (x + 3)^2 wach hiya x^2 + 9 ?

Non, c'est une erreur très courante ! Il faut utiliser l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Ici $a=x$ et $b=3$ .
Donc $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$ .
Le résultat est $x^2 + 6x + 9$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme du milieu $2ab$ .

Non, c'est une erreur très courante ! Il faut utiliser l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ici $a=x$ et $b=3$.
Donc $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$.
Le résultat est $x^2 + 6x + 9$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme du milieu $2ab$.

Est-ce qu'on peut additionner x^2 et x ?

Non, on ne peut pas. $x^2$ représente une aire (carré) et $x$ représente une longueur. Ce sont des familles différentes. On ne peut additionner que les termes de même puissance.

💡 À retenir : On additionne les "familles" : les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les nombres seuls ensemble.

Non, on ne peut pas. $x^2$ représente une aire (carré) et $x$ représente une longueur. Ce sont des familles différentes. On ne peut additionner que les termes de même puissance.

💡 À retenir : On additionne les "familles" : les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les nombres seuls ensemble.

Chno hiya l-far9 bin 2x o x^2 ?

$2x$ signifie $x + x$ . C'est deux fois la valeur de $x$ .
$x^2$ signifie $x \times x$ . C'est $x$ au carré. Exemple : si $x = 3$ , alors $2x = 6$ mais $x^2 = 9$ .

💡 À retenir : $2x$ est une addition répétée, $x^2$ est une multiplication répétée.

$2x$ signifie $x + x$. C'est deux fois la valeur de $x$.
$x^2$ signifie $x \times x$. C'est $x$ au carré. Exemple : si $x = 3$, alors $2x = 6$ mais $x^2 = 9$.

💡 À retenir : $2x$ est une addition répétée, $x^2$ est une multiplication répétée.

Comment développer quand il y a un signe moins devant la parenthèse ?

Il faut distribuer le signe moins à chaque terme à l'intérieur. Exemple : $-(x + 5) = -x - 5$ . Si c'est $-2(x - 3)$ , cela donne $-2x + 6$ (car $-2 \times -3 = +6$ ).

💡 À retenir : Le signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.

Il faut distribuer le signe moins à chaque terme à l'intérieur. Exemple : $-(x + 5) = -x - 5$. Si c'est $-2(x - 3)$, cela donne $-2x + 6$ (car $-2 \times -3 = +6$).

💡 À retenir : Le signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.

Kifach n3mel (factoriser) ila ma ban lya walo ?

Regarde bien les nombres : est-ce qu'ils sont dans la même table de multiplication ?
Regarde les lettres : est-ce que $x$ est présent dans tous les termes ?
Si ce n'est pas évident, cherche une identité remarquable cachée comme $a^2 - b^2$ .

💡 À retenir : Cherche toujours le plus grand facteur commun possible.

Regarde bien les nombres : est-ce qu'ils sont dans la même table de multiplication ?
Regarde les lettres : est-ce que $x$ est présent dans tous les termes ?
Si ce n'est pas évident, cherche une identité remarquable cachée comme $a^2 - b^2$.

💡 À retenir : Cherche toujours le plus grand facteur commun possible.

Est-ce que (a - b)^2 est égal à a^2 - b^2 ?

Non, c'est faux. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . $a^2 - b^2$ est une autre identité remarquable qui s'appelle "différence de deux carrés" et qui se factorise en $(a-b)(a+b)$ .

💡 À retenir : $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ .

Non, c'est faux. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $a^2 - b^2$ est une autre identité remarquable qui s'appelle "différence de deux carrés" et qui se factorise en $(a-b)(a+b)$.

💡 À retenir : $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$.

Pourquoi on écrit 3x et pas x3 ?

C'est une convention mathématique internationale. On écrit toujours le coefficient (le nombre) avant la lettre (la variable) pour faciliter la lecture.

💡 À retenir : Le nombre devant la lettre s'appelle le coefficient.

Est-ce que je peux factoriser x^2 + x par x ?

Oui, tout à fait. $x^2 + x = x \times x + x \times 1 = x(x + 1)$ . C'est une factorisation très utile.

💡 À retenir : Ne pas oublier le "1" quand on factorise tout le terme.

Oui, tout à fait. $x^2 + x = x \times x + x \times 1 = x(x + 1)$. C'est une factorisation très utile.

💡 À retenir : Ne pas oublier le "1" quand on factorise tout le terme.

Est-ce que l'ordre des termes dans une expression change le résultat ?

Non, l'addition est commutative ( $a + b = b + a$ ). Cependant, pour la clarté, on range souvent les puissances de la plus grande à la plus petite.

💡 À retenir : $x^2 + 3x + 2$ est la même chose que $2 + 3x + x^2$ .

Non, l'addition est commutative ($a + b = b + a$). Cependant, pour la clarté, on range souvent les puissances de la plus grande à la plus petite.

💡 À retenir : $x^2 + 3x + 2$ est la même chose que $2 + 3x + x^2$.

Est-ce qu'on peut développer (a+b)(c+d) en 2ème année collège ?

(à vérifier par le professeur) : Le programme officiel se concentre sur $k(a+b)$ et les identités remarquables. Le développement double $(a+b)(c+d)$ est généralement vu en 3ème année collège.

💡 À retenir : Concentre-toi sur les identités remarquables et la simple distributivité.

Comment savoir si j'ai bien réduit mon expression ?

Vérifie que :

Il n'y a plus de parenthèses.
Il n'y a plus de termes semblables (ex: deux termes en $x$ ).
Les termes sont ordonnés par puissance décroissante.

💡 À retenir : Une expression réduite est la forme la plus courte possible.

Vérifie que :

Il n'y a plus de parenthèses.
Il n'y a plus de termes semblables (ex: deux termes en $x$).
Les termes sont ordonnés par puissance décroissante.

💡 À retenir : Une expression réduite est la forme la plus courte possible.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Développer et réduire les expressions suivantes : A = $3(x + 4)$ B = $2x(x - 5)$ C = $(x + 4)^2$

Exercice 1

Développer et réduire les expressions suivantes : A = $3(x + 4)$ B = $2x(x - 5)$ C = $(x + 4)^2$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes : A = $5x + 15$ B = $x^2 + 7x$ C = $x^2 - 9$

Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes : A = $5x + 15$ B = $x^2 + 7x$ C = $x^2 - 9$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la valeur de l'expression $E = (x + 2)^2 - x^2$ pour $x = 5$ .

Exercice 3

Calculer la valeur de l'expression $E = (x + 2)^2 - x^2$ pour $x = 5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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