Mathématiques · 2ème Année Collège

الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ coupées par une sécante $(\Delta)$ .

Angles alternes-internes : Ils sont situés entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante. S'ils sont égaux, alors $(D_1) // (D_2)$ .
Angles correspondants : Ils sont du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur. S'ils sont égaux, alors $(D_1) // (D_2)$ .
Propriété fondamentale : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux.

Méthodes à maîtriser

Identifier la position des angles (intérieur/extérieur, même côté/côté opposé).
Utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme : "Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles".
Utiliser la propriété directe pour calculer des mesures d'angles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si deux angles alternes-internes mesurent $60^\circ$ , alors les droites sont parallèles. Exemple 2 : Si $(D_1) // (D_2)$ , alors tout angle correspondant à un angle de $45^\circ$ mesure aussi $45^\circ$ .

Erreurs fréquentes

Confondre les angles alternes-internes et les angles opposés par le sommet.
Oublier de préciser que les droites sont parallèles avant d'affirmer que les angles sont égaux.
Penser que deux angles égaux impliquent toujours des droites parallèles sans vérifier leur position (alternes-internes ou correspondants).

L'essentiel du cours

Soient deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ coupées par une sécante $(\Delta)$.

Angles alternes-internes : Ils sont situés entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante. S'ils sont égaux, alors $(D_1) // (D_2)$.
Angles correspondants : Ils sont du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur. S'ils sont égaux, alors $(D_1) // (D_2)$.
Propriété fondamentale : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux.

Méthodes à maîtriser

Identifier la position des angles (intérieur/extérieur, même côté/côté opposé).
Utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme : "Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles".
Utiliser la propriété directe pour calculer des mesures d'angles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si deux angles alternes-internes mesurent $60^\circ$, alors les droites sont parallèles. Exemple 2 : Si $(D_1) // (D_2)$, alors tout angle correspondant à un angle de $45^\circ$ mesure aussi $45^\circ$.

Erreurs fréquentes

Confondre les angles alternes-internes et les angles opposés par le sommet.
Oublier de préciser que les droites sont parallèles avant d'affirmer que les angles sont égaux.
Penser que deux angles égaux impliquent toujours des droites parallèles sans vérifier leur position (alternes-internes ou correspondants).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Deux angles alternes-internes sont :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que les angles alternes-externes sont aussi égaux quand les droites sont parallèles ?

Oui, tout à fait. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-externes sont également égaux. C'est une conséquence directe des propriétés des angles formés par des parallèles.

💡 À retenir : Parallèles + Sécante = Angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants égaux.

Kifach n3ref wach zawiyatayn motamathilatayn wla la?

Bach t3ref zawiyatayn motamathilatayn (correspondants), khass ykono:

F nafs l-jiha dyal l-qati3 (sécante).
Whda dakhliya (bin l-mostaqimayn) w whda kharijiya.

💡 À retenir : Zawiyatayn motamathilatayn = nafs l-jiha + whda dakhla whda khra.

Est-ce que la somme des angles alternes-internes est toujours 180° ?

Non, ce n'est pas une règle générale. Si les droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux. Ils ne sont égaux à 180° que s'ils sont aussi supplémentaires (donc s'ils mesurent 90° chacun).

💡 À retenir : Alternes-internes = égaux (si parallèles).

Chno hiya l-farq bin zawiyatayn motabadilatayn dakhiliyan w motamathilatayn?

L-farq howa l-mawqi3:

Motabadilatayn dakhiliyan: f jihatayn mokhtalifatayn dyal l-qati3, w bjouj dakhliyin.
Motamathilatayn: f nafs l-jiha dyal l-qati3, whda dakhliya whda kharijiya.

💡 À retenir : Motabadilatayn = jihatayn mokhtalifatayn ; Motamathilatayn = nafs l-jiha.

Si j'ai deux angles égaux, est-ce que je peux dire que les droites sont parallèles ?

Pas forcément. Tu peux l'affirmer seulement si ces deux angles sont alternes-internes ou correspondants. Si ce sont des angles opposés par le sommet, cela ne prouve rien sur le parallélisme.

💡 À retenir : Il faut que la position des angles soit spécifique (alternes-internes ou correspondants).

Kifach n7seb qiyas zawiya ila 3ndna mostaqiman motawaziyan?

Chof wach zawiya li 3ndek hiya motabadila dakhiliyan wla motamathila m3a zawiya li bghiti.
Ila kano, qiyas dyalhom kikon motasawi.
Ila kano motakamilitayn (f nafs l-jiha dakhliyan), majmo3hom 180°.

💡 À retenir : Mostaqiman motawaziyan = zawaya motasawiya (alternes-internes/correspondants).

Est-ce que les angles alternes-internes doivent être sur la même droite ?

Non, ils sont formés par deux droites différentes coupées par une sécante. Chaque angle a son sommet sur une des deux droites.

💡 À retenir : Deux sommets distincts sur deux droites différentes.

Est-ce que les angles correspondants sont toujours égaux ?

Ils sont égaux si et seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. Si les droites ne sont pas parallèles, les angles correspondants ne sont pas égaux.

💡 À retenir : Parallélisme est la condition nécessaire pour l'égalité.

Est-ce que les angles opposés par le sommet sont des angles alternes-internes ?

Non, ce sont deux notions différentes. Les angles opposés par le sommet ont le même sommet, alors que les angles alternes-internes ont des sommets différents.

💡 À retenir : Sommet commun = opposés par le sommet.

Est-ce que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles ?

Oui, c'est une propriété importante. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

💡 À retenir : Perpendiculaires à la même droite = parallèles.

Chno hiya zawiyatayn motakamilitayn?

Zawiyatayn motakamilitayn (supplémentaires) homa zawiyatayn li majmo3 qiyasihoma 180°.

💡 À retenir : Majmo3 = 180°.

Est-ce que je peux utiliser le rapporteur pour prouver le parallélisme ?

Oui, en mesurant les angles alternes-internes ou correspondants. Si tu trouves qu'ils ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

💡 À retenir : Mesure = preuve expérimentale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites coupées par une sécante $(L)$ en $A$ et $B$ . On donne un angle alternes-internes de $70^\circ$ . Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 1

Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites coupées par une sécante $(L)$ en $A$ et $B$. On donne un angle alternes-internes de $70^\circ$. Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

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Exercice 2

On considère deux droites parallèles $(D)$ et $(D')$ . Une sécante coupe $(D)$ en $M$ et $(D')$ en $N$ . L'angle formé par la sécante et $(D)$ est de $110^\circ$ . Calculer les mesures des angles correspondants.

Exercice 2

On considère deux droites parallèles $(D)$ et $(D')$. Une sécante coupe $(D)$ en $M$ et $(D')$ en $N$. L'angle formé par la sécante et $(D)$ est de $110^\circ$. Calculer les mesures des angles correspondants.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit un triangle $ABC$ . La droite passant par $A$ est parallèle à $(BC)$ . Montrer que la somme des angles en $A$ avec les angles du triangle est égale à $180^\circ$ .

Exercice 3

Soit un triangle $ABC$. La droite passant par $A$ est parallèle à $(BC)$. Montrer que la somme des angles en $A$ avec les angles du triangle est égale à $180^\circ$.

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