Mathématiques · 2ème Année Collège

العمليات الأربع على الأعداد الجذرية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour effectuer les quatre opérations sur les nombres rationnels, on utilise les règles suivantes :

Addition et Soustraction : Il faut réduire au même dénominateur. $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
Division : Diviser par un nombre rationnel revient à multiplier par son inverse. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$
Priorités : Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions. Les parenthèses sont toujours prioritaires.

Méthodes à maîtriser

Réduction au même dénominateur : Chercher le plus petit multiple commun (PPCM).
Simplification : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Gestion des signes : Appliquer la règle des signes (ex: $(-a) \times (-b) = ab$ ).

Exemples corrigés

Addition : $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$ .
Division : $\frac{5}{2} \div \frac{3}{7} = \frac{5}{2} \times \frac{7}{3} = \frac{35}{6}$ .

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}$ .
Oublier de simplifier le résultat final.
Se tromper dans la règle des signes lors de la multiplication de nombres négatifs.

L'essentiel du cours

Pour effectuer les quatre opérations sur les nombres rationnels, on utilise les règles suivantes :

Addition et Soustraction : Il faut réduire au même dénominateur. $$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$
Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
Division : Diviser par un nombre rationnel revient à multiplier par son inverse. $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$
Priorités : Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions. Les parenthèses sont toujours prioritaires.

Méthodes à maîtriser

Réduction au même dénominateur : Chercher le plus petit multiple commun (PPCM).
Simplification : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Gestion des signes : Appliquer la règle des signes (ex: $(-a) \times (-b) = ab$).

Exemples corrigés

Addition : $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
Division : $\frac{5}{2} \div \frac{3}{7} = \frac{5}{2} \times \frac{7}{3} = \frac{35}{6}$.

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}$.
Oublier de simplifier le résultat final.
Se tromper dans la règle des signes lors de la multiplication de nombres négatifs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 العمليات الأربع على الأعداد الجذرية

1/4

Quel est le dénominateur commun de $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on peut additionner des nombres rationnels sans réduire au même dénominateur ?

Non, c'est impossible. Pour additionner ou soustraire, les parts doivent être de même "taille", donc le dénominateur doit être identique.

💡 À retenir : Le dénominateur commun est obligatoire pour l'addition et la soustraction.

Kifach n7seb l-invers d'un nombre rationnel ?

Pour trouver l'inverse de $\frac{a}{b}$ , il suffit d'inverser la position du numérateur et du dénominateur pour obtenir $\frac{b}{a}$ .

💡 À retenir : L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ (avec $a, b \neq 0$ ).

Pour trouver l'inverse de $\frac{a}{b}$, il suffit d'inverser la position du numérateur et du dénominateur pour obtenir $\frac{b}{a}$.

💡 À retenir : L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ (avec $a, b \neq 0$).

Est-ce que le résultat d'une opération sur des nombres rationnels doit toujours être simplifié ?

Oui, en mathématiques, on attend toujours une fraction irréductible. Si tu ne simplifies pas, ton résultat est incomplet.

💡 À retenir : Simplifier au maximum est une règle d'or.

Chno hiya l-awlawiya f l-7isab ila kano 3ndi ga3 l-3amaliyat ?

L'ordre est : 1. Parenthèses, 2. Multiplications et Divisions (de gauche à droite), 3. Additions et Soustractions (de gauche à droite).

💡 À retenir : Respecte toujours l'ordre des opérations (PEMDAS).

Comment multiplier un nombre entier par un nombre rationnel ?

Considère le nombre entier $n$ comme la fraction $\frac{n}{1}$ , puis multiplie normalement.

💡 À retenir : $n \times \frac{a}{b} = \frac{n \times a}{b}$ .

Considère le nombre entier $n$ comme la fraction $\frac{n}{1}$, puis multiplie normalement.

💡 À retenir : $n \times \frac{a}{b} = \frac{n \times a}{b}$.

Kifach n3ref wach l-natija khasha tkon mojaba wla saliba ?

Utilise la règle des signes :

Même signe : résultat positif.
Signes différents : résultat négatif.

💡 À retenir : $(+) \times (+) = +$ ; $(-) \times (-) = +$ ; $(+) \times (-) = -$ .

Utilise la règle des signes :

Même signe : résultat positif.
Signes différents : résultat négatif.

💡 À retenir : $(+) \times (+) = +$ ; $(-) \times (-) = +$ ; $(+) \times (-) = -$.

Peut-on diviser par zéro ?

Non, la division par zéro est strictement interdite en mathématiques. Le dénominateur ne doit jamais être nul.

💡 À retenir : Le dénominateur doit toujours être différent de zéro.

Est-ce que l'ordre des nombres change le résultat dans une soustraction ?

Oui, la soustraction n'est pas commutative. $a - b$ n'est pas égal à $b - a$ .

💡 À retenir : L'ordre est très important pour la soustraction et la division.

Oui, la soustraction n'est pas commutative. $a - b$ n'est pas égal à $b - a$.

💡 À retenir : L'ordre est très important pour la soustraction et la division.

Comment faire si les dénominateurs sont très grands ?

Cherche le PGCD des deux dénominateurs pour trouver le plus petit dénominateur commun, ou multiplie-les simplement entre eux.

💡 À retenir : Le produit des dénominateurs fonctionne toujours, même s'il n'est pas le plus petit.

Est-ce que je peux simplifier avant de multiplier ?

Oui, c'est même conseillé ! Tu peux simplifier un numérateur avec un dénominateur avant de faire le produit.

💡 À retenir : Simplifier avant de multiplier rend le calcul beaucoup plus facile.

Pourquoi on change la division en multiplication ?

Parce qu'il n'existe pas de règle directe pour diviser des fractions. Multiplier par l'inverse est la méthode standard.

💡 À retenir : Diviser par $x$ revient à multiplier par $1/x$ .

Parce qu'il n'existe pas de règle directe pour diviser des fractions. Multiplier par l'inverse est la méthode standard.

💡 À retenir : Diviser par $x$ revient à multiplier par $1/x$.

Est-ce que le résultat d'une opération sur des nombres rationnels est toujours un nombre rationnel ?

Oui, l'ensemble des nombres rationnels est stable par les quatre opérations (sauf la division par zéro).

💡 À retenir : Le résultat reste toujours une fraction.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer et simplifier : $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{6}$

Exercice 1

Calculer et simplifier : $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{6}$

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Exercice 2

Calculer et simplifier : $B = \frac{7}{3} \times \frac{9}{14}$

Exercice 2

Calculer et simplifier : $B = \frac{7}{3} \times \frac{9}{14}$

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Exercice 3

Calculer : $C = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \div \frac{5}{6}$

Exercice 3

Calculer : $C = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \div \frac{5}{6}$

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