Mathématiques · 2ème Année Collège

المثلث القائم الزاوية والدائرة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Propriété du milieu de l'hypoténuse : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Propriété réciproque : Si un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
Propriété de la médiane : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le cercle circonscrit.
Calculer la longueur d'une médiane relative à l'hypoténuse.
Construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ . Si $BC = 6$ cm, quelle est la longueur du rayon $R$ du cercle circonscrit ? Réponse : Le milieu de l'hypoténuse $BC$ est le centre du cercle. Donc $R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Erreurs fréquentes

Confondre le centre du cercle circonscrit avec le milieu d'un côté quelconque (c'est uniquement l'hypoténuse).
Oublier que la propriété réciproque nécessite que le sommet appartienne au cercle.

L'essentiel du cours

Propriété du milieu de l'hypoténuse : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Propriété réciproque : Si un côté d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
Propriété de la médiane : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'un triangle est rectangle en utilisant le cercle circonscrit.
Calculer la longueur d'une médiane relative à l'hypoténuse.
Construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Si $BC = 6$ cm, quelle est la longueur du rayon $R$ du cercle circonscrit ? Réponse : Le milieu de l'hypoténuse $BC$ est le centre du cercle. Donc $R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Erreurs fréquentes

Confondre le centre du cercle circonscrit avec le milieu d'un côté quelconque (c'est uniquement l'hypoténuse).
Oublier que la propriété réciproque nécessite que le sommet appartienne au cercle.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 المثلث القائم الزاوية والدائرة

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Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que cette règle marche pour tous les triangles ?

Non, cette règle est spécifique aux triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices, pas forcément le milieu d'un côté.

💡 À retenir : Le milieu de l'hypoténuse n'est le centre du cercle circonscrit que si le triangle est rectangle.

Kifach n3ref wach l-moutallat 9aïm zawya ila 3tani ghir daïra ?

Chouf wach wahed d-dlou3 dyal l-moutallat houwa 9otr (diamètre) dyal dik daïra.
Chouf wach rass l-moutallat l-mouqabil l-had l-9otr kayn 3la l-mohit dyal daïra.
Ila kanou had jouj chourout, rah l-moutallat 9aïm zawya.

💡 À retenir : Si un côté est diamètre, le triangle est rectangle.

Est-ce que la médiane est toujours égale à la moitié de l'hypoténuse ?

Oui, mais uniquement dans un triangle rectangle. Dans un triangle quelconque, la médiane n'a pas cette propriété particulière par rapport aux côtés.

💡 À retenir : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de l'hypoténuse.

Chno hiya l-far9 bin l-khassiya l-moubachira w l-3aksiya ?

L-khassiya l-moubachira: 3ndek triangle rectangle $\rightarrow$ katsstntj bli l-watar houwa 9otr.
L-khassiya l-3aksiya: 3ndek 9otr $\rightarrow$ katsstntj bli l-triangle rectangle.

💡 À retenir : Directe = on a le triangle, Réciproque = on a le cercle.

L-khassiya l-moubachira: 3ndek triangle rectangle $\rightarrow$ katsstntj bli l-watar houwa 9otr.
L-khassiya l-3aksiya: 3ndek 9otr $\rightarrow$ katsstntj bli l-triangle rectangle.

💡 À retenir : Directe = on a le triangle, Réciproque = on a le cercle.

Si le triangle est rectangle en A, quel est le centre du cercle ?

Le centre du cercle circonscrit est le milieu du segment $[BC]$ , car $[BC]$ est l'hypoténuse.

💡 À retenir : Le milieu de l'hypoténuse est le centre.

Le centre du cercle circonscrit est le milieu du segment $[BC]$, car $[BC]$ est l'hypoténuse.

💡 À retenir : Le milieu de l'hypoténuse est le centre.

Kifach n-rsem l-daïra l-mohit bi moutallat 9aïm zawya ?

Hdded l-montasaf dyal l-watar (hypoténuse).
Htt l-birkar 3la had l-montasaf.
Rsem l-daïra li katdouz mn rrouous b-t-tlata.

💡 À retenir : Le centre est le milieu de l'hypoténuse.

Est-ce que le rayon est égal à la médiane ?

Oui, dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit a pour longueur le rayon du cercle circonscrit.

💡 À retenir : Médiane = Rayon = Hypothénuse / 2.

Si j'ai un triangle inscrit dans un cercle, est-il forcément rectangle ?

Non, pas forcément. Il faut impérativement qu'un des côtés du triangle soit un diamètre du cercle pour qu'il soit rectangle.

💡 À retenir : Un côté doit être un diamètre.

Est-ce que la propriété marche si le triangle est isocèle ?

La propriété du cercle circonscrit marche pour tous les triangles, mais la règle spécifique "milieu de l'hypoténuse = centre" ne s'applique que si le triangle est rectangle.

💡 À retenir : La condition "rectangle" est obligatoire.

Est-ce que le centre du cercle est toujours à l'intérieur du triangle ?

Dans un triangle rectangle, le centre est sur le côté (l'hypoténuse). Dans un triangle acutangle, il est à l'intérieur. Dans un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

💡 À retenir : Pour le triangle rectangle, il est sur l'hypoténuse.

Comment calculer l'hypoténuse si on a le rayon ?

Puisque le rayon $R$ est la moitié de l'hypoténuse, alors l'hypoténuse $H = 2 \times R$ .

💡 À retenir : $H = 2R$ .

Puisque le rayon $R$ est la moitié de l'hypoténuse, alors l'hypoténuse $H = 2 \times R$.

💡 À retenir : $H = 2R$.

Est-ce que je peux utiliser Pythagore ici ?

Oui, si tu connais deux côtés du triangle rectangle, tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le troisième, en plus des propriétés du cercle.

💡 À retenir : Pythagore et le cercle sont souvent liés dans les exercices.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $BC = 8$ cm. Soit $O$ le milieu de $[BC]$ . On trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $4$ cm. Le point $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ . Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $BC = 8$ cm. Soit $O$ le milieu de $[BC]$. On trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $4$ cm. Le point $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$ . Soit $I$ le milieu de $[FG]$ . Sachant que $FG = 10$ cm, calculer la longueur $EI$ .

Exercice 2

Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$. Soit $I$ le milieu de $[FG]$. Sachant que $FG = 10$ cm, calculer la longueur $EI$.

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Exercice 3

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de diamètre $[AB] = 6$ cm. Soit $M$ un point du cercle tel que $AM = 3$ cm.

Quelle est la nature du triangle $ABM$ ?
Calculer $BM$ .

Exercice 3

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de diamètre $[AB] = 6$ cm. Soit $M$ un point du cercle tel que $AM = 3$ cm.

Quelle est la nature du triangle $ABM$ ?
Calculer $BM$.

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