Mathématiques · 2ème Année Collège

قوة عدد جذري

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre rationnel non nul et $n$ un entier naturel.

Définition : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ facteurs).
Cas particuliers : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ ).
Exposant négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n$ .
Propriétés :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
- $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Calculer une puissance : Appliquer la définition pour les petits exposants.
Simplifier une expression : Utiliser les propriétés des exposants pour réduire le nombre de termes.
Travailler avec les signes : Si la base est négative, le résultat est positif si l'exposant est pair, et négatif s'il est impair.
Notation scientifique : Déplacer la virgule pour avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemples corrigés

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (exposant pair).
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ (exposant impair).
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ .
$(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n \times a^m$ avec $a^{n \times m}$ (additionner les exposants, ne pas les multiplier).
Oublier que $(-a)^n$ n'est pas égal à $-a^n$ si $n$ est pair.
Penser que $a^0 = 0$ (c'est toujours 1).

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre rationnel non nul et $n$ un entier naturel.

Définition : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs).
Cas particuliers : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
Exposant négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n$.
Propriétés :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
- $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Calculer une puissance : Appliquer la définition pour les petits exposants.
Simplifier une expression : Utiliser les propriétés des exposants pour réduire le nombre de termes.
Travailler avec les signes : Si la base est négative, le résultat est positif si l'exposant est pair, et négatif s'il est impair.
Notation scientifique : Déplacer la virgule pour avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemples corrigés

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (exposant pair).
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ (exposant impair).
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.
$(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n \times a^m$ avec $a^{n \times m}$ (additionner les exposants, ne pas les multiplier).
Oublier que $(-a)^n$ n'est pas égal à $-a^n$ si $n$ est pair.
Penser que $a^0 = 0$ (c'est toujours 1).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 قوة عدد جذري

1/4

Quelle est la valeur de $2^4$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que (-2)^4 est égal à -2^4 ?

Non, ce n'est pas la même chose.

$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ .
$-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ .

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout le résultat car elles incluent le signe moins dans la puissance.

Non, ce n'est pas la même chose.

$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$.
$-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$.

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout le résultat car elles incluent le signe moins dans la puissance.

Kifach n7seb 3^{-2} ?

L'exposant négatif signifie qu'on doit prendre l'inverse de la base.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2}$ .
On calcule le dénominateur : $3^2 = 9$ .
Donc, $3^{-2} = \frac{1}{9}$ .

💡 À retenir : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

L'exposant négatif signifie qu'on doit prendre l'inverse de la base.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2}$.
On calcule le dénominateur : $3^2 = 9$.
Donc, $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

💡 À retenir : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Est-ce que 2^3 + 2^2 = 2^5 ?

Non, c'est une erreur très courante.

$2^3 = 8$ .
$2^2 = 4$ .
$8 + 4 = 12$ .
$2^5 = 32$ . 12 n'est pas égal à 32.

💡 À retenir : Il n'y a pas de règle pour la somme de deux puissances, il faut calculer chaque terme séparément.

Non, c'est une erreur très courante.

$2^3 = 8$.
$2^2 = 4$.
$8 + 4 = 12$.
$2^5 = 32$. 12 n'est pas égal à 32.

💡 À retenir : Il n'y a pas de règle pour la somme de deux puissances, il faut calculer chaque terme séparément.

Chno hiya l'qwa dial 0 ?

Toute puissance d'exposant 0 est égale à 1 (pourvu que la base ne soit pas 0).
Par exemple, $5^0 = 1$ et $(-7)^0 = 1$ .
$0^0$ n'est pas défini en mathématiques.

💡 À retenir : $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$ .

Toute puissance d'exposant 0 est égale à 1 (pourvu que la base ne soit pas 0).
Par exemple, $5^0 = 1$ et $(-7)^0 = 1$.
$0^0$ n'est pas défini en mathématiques.

💡 À retenir : $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$.

Comment calculer (2 times 3)^2 ?

Tu peux calculer l'intérieur de la parenthèse d'abord : $(6)^2 = 36$ .
Ou utiliser la propriété : $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ .

💡 À retenir : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ .

Tu peux calculer l'intérieur de la parenthèse d'abord : $(6)^2 = 36$.
Ou utiliser la propriété : $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

💡 À retenir : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.

Kifach n7seb (2^3)^2 ?

Ici, on a une puissance d'une puissance.
La règle dit qu'on multiplie les exposants : $3 \times 2 = 6$ .
Le résultat est $2^6 = 64$ .

💡 À retenir : $(a^n)^m = a^{n \times m}$ .

Ici, on a une puissance d'une puissance.
La règle dit qu'on multiplie les exposants : $3 \times 2 = 6$.
Le résultat est $2^6 = 64$.

💡 À retenir : $(a^n)^m = a^{n \times m}$.

Est-ce que 0,5^2 est plus petit que 0,5 ?

$0,5^2 = 0,5 \times 0,5 = 0,25$ .
$0,25 < 0,5$ .
Oui, car multiplier un nombre entre 0 et 1 par lui-même le rend plus petit.

💡 À retenir : Pour un nombre $0 < a < 1$ , plus l'exposant augmente, plus le nombre diminue.

$0,5^2 = 0,5 \times 0,5 = 0,25$.
$0,25 < 0,5$.
Oui, car multiplier un nombre entre 0 et 1 par lui-même le rend plus petit.

💡 À retenir : Pour un nombre $0 < a < 1$, plus l'exposant augmente, plus le nombre diminue.

Pourquoi 10^{-3} = 0,001 ?

$10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ .
$10^3 = 1000$ .
$1 \div 1000 = 0,001$ .

💡 À retenir : $10^{-n}$ correspond à un 1 placé à la $n$ -ième position après la virgule.

$10^{-3} = \frac{1}{10^3}$.
$10^3 = 1000$.
$1 \div 1000 = 0,001$.

💡 À retenir : $10^{-n}$ correspond à un 1 placé à la $n$-ième position après la virgule.

Comment simplifier frac{5^7}{5^4} ?

On utilise la règle du quotient : $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .
Ici, $n=7$ et $m=4$ .
Donc $5^{7-4} = 5^3 = 125$ .

💡 À retenir : Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants.

On utilise la règle du quotient : $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.
Ici, $n=7$ et $m=4$.
Donc $5^{7-4} = 5^3 = 125$.

💡 À retenir : Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants.

Est-ce que (-1)^{2024} est positif ou négatif ?

L'exposant 2024 est un nombre pair.
Une base négative élevée à une puissance paire donne toujours un résultat positif.
Donc $(-1)^{2024} = 1$ .

💡 À retenir : $(-1)^n = 1$ si $n$ est pair, et $-1$ si $n$ est impair.

L'exposant 2024 est un nombre pair.
Une base négative élevée à une puissance paire donne toujours un résultat positif.
Donc $(-1)^{2024} = 1$.

💡 À retenir : $(-1)^n = 1$ si $n$ est pair, et $-1$ si $n$ est impair.

Comment écrire 0,0005 en notation scientifique ?

On doit avoir un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.
On déplace la virgule de 4 rangs vers la droite : $5$ .
Comme on a déplacé vers la droite, l'exposant est négatif : $5 \times 10^{-4}$ .