Mathématiques · 2ème Année Collège

المثلثات المتقايسة والمتشابهة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Triangles isométriques : Deux triangles sont isométriques s'ils ont les mêmes mesures de côtés et d'angles.
- Cas 1 : Trois côtés égaux deux à deux.
- Cas 2 : Deux côtés égaux et l'angle compris entre eux égal.
- Cas 3 : Un côté égal et les deux angles adjacents égaux.
Triangles semblables : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux. Leurs côtés homologues sont alors proportionnels.
- Si $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont semblables, alors $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$ ( $k$ est le rapport de similitude).

Méthodes à maîtriser

Pour prouver l'isométrie : Chercher les égalités de longueurs ou d'angles données dans l'énoncé.
Pour prouver la similitude : Vérifier l'égalité de deux angles (car la somme des angles est $180^\circ$ ).
Utiliser le rapport de proportionnalité pour calculer une longueur manquante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $AB=DE$ , $AC=DF$ et $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$ , alors les triangles sont isométriques. Exemple 2 : Si $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$ , alors $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "isométrique" (identique) et "semblable" (même forme mais taille différente).
Oublier que les côtés doivent être pris dans le bon ordre (homologues).

L'essentiel du cours

Triangles isométriques : Deux triangles sont isométriques s'ils ont les mêmes mesures de côtés et d'angles.
- Cas 1 : Trois côtés égaux deux à deux.
- Cas 2 : Deux côtés égaux et l'angle compris entre eux égal.
- Cas 3 : Un côté égal et les deux angles adjacents égaux.
Triangles semblables : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux. Leurs côtés homologues sont alors proportionnels.
- Si $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont semblables, alors $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$ ($k$ est le rapport de similitude).

Méthodes à maîtriser

Pour prouver l'isométrie : Chercher les égalités de longueurs ou d'angles données dans l'énoncé.
Pour prouver la similitude : Vérifier l'égalité de deux angles (car la somme des angles est $180^\circ$).
Utiliser le rapport de proportionnalité pour calculer une longueur manquante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $AB=DE$, $AC=DF$ et $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$, alors les triangles sont isométriques. Exemple 2 : Si $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$, alors $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Erreurs fréquentes

Confondre "isométrique" (identique) et "semblable" (même forme mais taille différente).
Oublier que les côtés doivent être pris dans le bon ordre (homologues).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 المثلثات المتقايسة والمتشابهة

1/4

Deux triangles sont isométriques s'ils ont :

❓ Questions fréquentes

Si j'ai deux triangles isométriques, est-ce que leur aire est la même ?

Oui, car ils sont identiques, donc ils occupent la même surface.

💡 À retenir : Isométrie implique égalité des aires.

Comment rédiger la preuve de similitude à l'examen ?

Cite les deux triangles.
Énumère les égalités d'angles trouvées.
Conclus : "Puisque deux angles sont égaux, alors les triangles sont semblables".

💡 À retenir : Sois précis et cite les sommets dans l'ordre.

C'est quoi la différence entre isométrique et semblable ?

Isométrique signifie que les deux triangles sont parfaitement identiques en taille et en forme.
Semblable signifie qu'ils ont la même forme (angles égaux), mais l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre.

💡 À retenir : Isométrique = même taille, Semblable = même forme.

Kifach n3ref belli jouj d-l-muthallatat motachabihan ?

Il suffit de montrer que deux angles du premier triangle sont égaux à deux angles du second.
Si $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$ , alors ils sont semblables.

💡 À retenir : Deux angles suffisent pour prouver la similitude.

Il suffit de montrer que deux angles du premier triangle sont égaux à deux angles du second.
Si $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$, alors ils sont semblables.

💡 À retenir : Deux angles suffisent pour prouver la similitude.

Est-ce que tous les triangles isométriques sont semblables ?

Oui, car s'ils sont isométriques, leurs angles sont déjà égaux, ce qui est la condition de base pour être semblables (avec un rapport de similitude $k=1$ ).

💡 À retenir : L'isométrie est un cas particulier de la similitude.

Oui, car s'ils sont isométriques, leurs angles sont déjà égaux, ce qui est la condition de base pour être semblables (avec un rapport de similitude $k=1$).

💡 À retenir : L'isométrie est un cas particulier de la similitude.

Chno hiya l-hala li kankhedmo fiha l-muthallatat l-motachabiha ?

On l'utilise quand on veut calculer une longueur manquante sans avoir un triangle rectangle (donc sans Pythagore).

💡 À retenir : La similitude sert à trouver des mesures manquantes grâce à la proportionnalité.

Comment calculer le rapport de similitude ?

Identifie deux côtés homologues (qui se correspondent).
Divise la longueur du côté du grand triangle par celle du petit triangle.

💡 À retenir : $k = \frac{\text{côté grand}}{\text{côté petit}}$ .

Identifie deux côtés homologues (qui se correspondent).
Divise la longueur du côté du grand triangle par celle du petit triangle.

💡 À retenir : $k = \frac{\text{côté grand}}{\text{côté petit}}$.

Wash ila kanou l-adla3 motanasiba, wach l-muthallatat motachabiha ?

Oui, c'est une propriété fondamentale : si les trois côtés sont proportionnels, alors les triangles sont semblables.

💡 À retenir : Proportionnalité des côtés = Similitude.

Kifach n-lqaw l-adla3 l-homologa ?

Regarde les angles égaux.
Le côté opposé à l'angle égal dans le premier triangle correspond au côté opposé à l'angle égal dans le second.

💡 À retenir : Les côtés homologues sont face aux angles égaux.

Est-ce que deux triangles rectangles sont toujours semblables ?

Non, seulement s'ils ont un autre angle aigu égal en plus de l'angle droit.

💡 À retenir : L'angle droit ne suffit pas à lui seul.

Est-ce que la somme des angles change dans les triangles semblables ?

Non, la somme des angles d'un triangle est toujours $180^\circ$ , peu importe la taille du triangle.

💡 À retenir : La somme des angles est constante.

Non, la somme des angles d'un triangle est toujours $180^\circ$, peu importe la taille du triangle.

💡 À retenir : La somme des angles est constante.

Wash l-muthallatat l-motasawiyat l-adla3 kolha motachabiha ?

Oui, car chaque angle mesure toujours $60^\circ$ . Ils ont donc tous les mêmes angles.

💡 À retenir : Tous les triangles équilatéraux sont semblables.

Oui, car chaque angle mesure toujours $60^\circ$. Ils ont donc tous les mêmes angles.

💡 À retenir : Tous les triangles équilatéraux sont semblables.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ tels que $AB=3$ , $AC=4$ , $BC=5$ et $DE=6$ , $DF=8$ , $EF=10$ . Montrer que ces triangles sont semblables.

Exercice 1

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ tels que $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ et $DE=6$, $DF=8$, $EF=10$. Montrer que ces triangles sont semblables.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Dans un triangle $ABC$ , on a $\widehat{A}=50^\circ$ et $\widehat{B}=60^\circ$ . Dans un triangle $MNP$ , on a $\widehat{M}=50^\circ$ et $\widehat{N}=60^\circ$ . Sont-ils semblables ? Justifier.

Exercice 2

Dans un triangle $ABC$, on a $\widehat{A}=50^\circ$ et $\widehat{B}=60^\circ$. Dans un triangle $MNP$, on a $\widehat{M}=50^\circ$ et $\widehat{N}=60^\circ$. Sont-ils semblables ? Justifier.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ isométriques avec $AB=5$ cm. Quelle est la longueur de $DE$ ? Justifier.

Exercice 3

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ isométriques avec $AB=5$ cm. Quelle est la longueur de $DE$ ? Justifier.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

الأعداد الجذرية جمع و طرح عددين جذريين جداء و خارج عددين جذريين العمليات الأربع على الأعداد الجذرية قوة عدد جذري الحساب الحرفي المعادلات مادة الرياضيات السنة الثانية اعدادي ترتيب الأعداد الجذرية و العمليات الأعداد الحقيقية التماثل المحوري مادة الرياضيات السنة الثانية اعدادي المثلث: المستقيمات الهامة المتوازي الأضلاع مبرهنة فيتاغورس الترتيب والمجالات المثلث القائم الزاوية والدائرة الإزاحة والمتجهات المعلم في المستوى المستقيم في المستوى النظمات الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع الإسقاط الهندسة الفضائية الإحصاء