Mathématiques · 2ème Année Collège

جمع و طرح عددين جذريين

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour additionner ou soustraire deux nombres rationnels $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{b}$ ayant le même dénominateur : $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$ Si les dénominateurs sont différents, on doit d'abord réduire au même dénominateur.

Méthodes à maîtriser

Réduction au même dénominateur : Trouver le plus petit multiple commun des dénominateurs.
Simplification : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.
Gestion des signes : Rappeler que $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$ .

Exemples corrigés

Même dénominateur : $\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5+2}{7} = \frac{7}{7} = 1$ .
Dénominateurs différents : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs entre eux (ex: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ ).
Oublier de simplifier le résultat final.
Erreur de signe lors de la soustraction d'un nombre négatif.

L'essentiel du cours

Pour additionner ou soustraire deux nombres rationnels $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{b}$ ayant le même dénominateur : $$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$ Si les dénominateurs sont différents, on doit d'abord réduire au même dénominateur.

Méthodes à maîtriser

Réduction au même dénominateur : Trouver le plus petit multiple commun des dénominateurs.
Simplification : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.
Gestion des signes : Rappeler que $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$.

Exemples corrigés

Même dénominateur : $\frac{5}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5+2}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Dénominateurs différents : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs entre eux (ex: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$).
Oublier de simplifier le résultat final.
Erreur de signe lors de la soustraction d'un nombre négatif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 جمع و طرح عددين جذريين

1/4

Quel est le dénominateur commun de $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{4}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on peut additionner un nombre entier et une fraction ?

Oui, tout à fait. Il suffit d'écrire le nombre entier sous forme de fraction avec un dénominateur de 1. Par exemple, pour calculer $2 + \frac{3}{4}$ , on écrit $2 = \frac{2}{1}$ , puis on réduit au même dénominateur : $\frac{2 \times 4}{1 \times 4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ .

💡 À retenir : Tout nombre entier $n$ peut s'écrire $\frac{n}{1}$ .

Oui, tout à fait. Il suffit d'écrire le nombre entier sous forme de fraction avec un dénominateur de 1. Par exemple, pour calculer $2 + \frac{3}{4}$, on écrit $2 = \frac{2}{1}$, puis on réduit au même dénominateur : $\frac{2 \times 4}{1 \times 4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

💡 À retenir : Tout nombre entier $n$ peut s'écrire $\frac{n}{1}$.

Kifach n7seb frac{-2}{5} - frac{3}{4} ?

Les dénominateurs sont 5 et 4, le dénominateur commun est 20.
On multiplie la première fraction par 4 et la deuxième par 5 : $\frac{-2 \times 4}{5 \times 4} - \frac{3 \times 5}{4 \times 5}$ .
On obtient $\frac{-8}{20} - \frac{15}{20}$ .
On soustrait les numérateurs : $\frac{-8 - 15}{20} = \frac{-23}{20}$ .

💡 À retenir : Garde toujours le signe avec le numérateur pour éviter les erreurs.

Les dénominateurs sont 5 et 4, le dénominateur commun est 20.
On multiplie la première fraction par 4 et la deuxième par 5 : $\frac{-2 \times 4}{5 \times 4} - \frac{3 \times 5}{4 \times 5}$.
On obtient $\frac{-8}{20} - \frac{15}{20}$.
On soustrait les numérateurs : $\frac{-8 - 15}{20} = \frac{-23}{20}$.

💡 À retenir : Garde toujours le signe avec le numérateur pour éviter les erreurs.

Est-ce que l'ordre des nombres change le résultat dans une soustraction ?

Oui, la soustraction n'est pas commutative. Contrairement à l'addition, $a - b$ n'est pas égal à $b - a$ . Par exemple, $5 - 2 = 3$ , alors que $2 - 5 = -3$ .

💡 À retenir : L'addition est commutative ( $a+b = b+a$ ), mais pas la soustraction.

Oui, la soustraction n'est pas commutative. Contrairement à l'addition, $a - b$ n'est pas égal à $b - a$. Par exemple, $5 - 2 = 3$, alors que $2 - 5 = -3$.

💡 À retenir : L'addition est commutative ($a+b = b+a$), mais pas la soustraction.

Chno hiya tari9a sahla bach nwa7d lmaqamat ?

La méthode la plus simple est de multiplier chaque fraction par le dénominateur de l'autre. Si tu as $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ , tu fais $\frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b}$ . C'est toujours efficace, même si parfois tu devras simplifier à la fin.

💡 À retenir : Le dénominateur commun est toujours un multiple des deux dénominateurs de départ.

La méthode la plus simple est de multiplier chaque fraction par le dénominateur de l'autre. Si tu as $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$, tu fais $\frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b}$. C'est toujours efficace, même si parfois tu devras simplifier à la fin.

💡 À retenir : Le dénominateur commun est toujours un multiple des deux dénominateurs de départ.

Comment simplifier une fraction après avoir fait l'addition ?

Il faut chercher le plus grand diviseur commun (PGCD) entre le numérateur et le dénominateur. Tu divises les deux par ce nombre. Par exemple, pour $\frac{10}{15}$ , le PGCD est 5. Donc $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$ .

💡 À retenir : Une fraction est simplifiée quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1.

Il faut chercher le plus grand diviseur commun (PGCD) entre le numérateur et le dénominateur. Tu divises les deux par ce nombre. Par exemple, pour $\frac{10}{15}$, le PGCD est 5. Donc $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.

💡 À retenir : Une fraction est simplifiée quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1.

Wach momkin nkhli l- f lmaqam ?

En mathématiques, on préfère toujours mettre le signe « - » devant la fraction ou au numérateur. Par exemple, au lieu de $\frac{3}{-4}$ , on écrit $-\frac{3}{4}$ . C'est plus propre et plus facile pour les calculs.

💡 À retenir : $\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$ .

En mathématiques, on préfère toujours mettre le signe « - » devant la fraction ou au numérateur. Par exemple, au lieu de $\frac{3}{-4}$, on écrit $-\frac{3}{4}$. C'est plus propre et plus facile pour les calculs.

💡 À retenir : $\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.

Si j'ai trois fractions à additionner, comment je fais ?

Tu peux les faire deux par deux. Tu calcules d'abord la somme des deux premières, puis tu ajoutes la troisième au résultat obtenu. N'oublie pas de réduire au même dénominateur à chaque étape si nécessaire.

💡 À retenir : L'addition est associative : $(a+b)+c = a+(b+c)$ .

💡 À retenir : L'addition est associative : $(a+b)+c = a+(b+c)$.

Pourquoi on ne peut pas additionner directement les dénominateurs ?

Parce que le dénominateur représente la « taille » des parts. Si tu as une demi-pomme et un tiers de pomme, tu ne peux pas dire que tu as deux cinquièmes de pomme. Il faut d'abord couper les parts pour qu'elles aient la même taille (le même dénominateur).

💡 À retenir : Le dénominateur indique en combien de parts égales l'unité est divisée.

Est-ce que le résultat d'une somme de deux nombres rationnels est toujours un nombre rationnel ?

Oui, l'ensemble des nombres rationnels est stable par l'addition et la soustraction. Cela signifie que le résultat sera toujours une fraction.

💡 À retenir : La somme ou la différence de deux nombres rationnels est toujours un nombre rationnel.

Comment savoir si j'ai bien réduit au même dénominateur ?

Vérifie simplement si les deux nouveaux dénominateurs sont identiques. Si oui, tu as réussi cette étape. Ensuite, assure-toi d'avoir multiplié le numérateur par le même nombre que le dénominateur.

💡 À retenir : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (avec $k \neq 0$ ).

💡 À retenir : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (avec $k \neq 0$).

Est-ce que je dois toujours simplifier le résultat ?

Oui, c'est une règle d'or en mathématiques. Un résultat non simplifié est souvent considéré comme incomplet lors d'un examen.

💡 À retenir : Toujours donner le résultat sous sa forme irréductible.

Est-ce que le zéro change quelque chose dans l'addition ?

Non, le zéro est l'élément neutre de l'addition. N'importe quel nombre rationnel $x$ additionné à 0 donne $x$ . Par exemple, $\frac{3}{7} + 0 = \frac{3}{7}$ .

💡 À retenir : $a + 0 = a$ .

Non, le zéro est l'élément neutre de l'addition. N'importe quel nombre rationnel $x$ additionné à 0 donne $x$. Par exemple, $\frac{3}{7} + 0 = \frac{3}{7}$.